容斥原理中的極值問題

1、容斥原理中的極值問題作者：楚楚包含的容斥原理總數(shù)=│A││B││C││A∩B││A∩C││B∩C││A∩B∩C│都不滿足的例1：某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)有甲、乙、丙三門必修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課程均未選的有多少人？【浙江2009】A.1人B.2人C.3人D.4人解析：

2、50=40363028262420x，x尾數(shù)2，選B不包含的容斥原理總數(shù)=│A││B││C│—只滿足兩個(gè)條件的—2只滿足三個(gè)條件的一個(gè)都不滿足的例1：為豐富職工業(yè)余文化生活，某單位組織了合唱、象棋、羽毛球三項(xiàng)活動(dòng)。在該單位的所有職工中，參加合唱活動(dòng)有189人，參加象棋活動(dòng)有152人，參加羽毛球活動(dòng)有135人，參加兩種活動(dòng)的有130人，參加三種活動(dòng)的有69人，不參加任何一種活動(dòng)的有44人。該單位的職工人數(shù)為（）？【廣東2014】A.233

3、B.252C.321D.520解析：總?cè)藬?shù)=189152135130（692）44，尾數(shù)2，選B總數(shù)分類加和公式總數(shù)=只參加一種的人數(shù)只參加兩種的人數(shù)只參加三種的人數(shù)1種都不參加的人數(shù)；例1：五年級(jí)一班共有55個(gè)學(xué)生，在暑假期間都參加了特長(zhǎng)培訓(xùn)班，35人參加書法班，28人參加美術(shù)班，31人參加舞蹈班，其中以上三種特長(zhǎng)培訓(xùn)班都參加的有6人，則有（）人只參加了一種特長(zhǎng)培訓(xùn)班?！娟兾?013】A.45B.33C.29D.22解析：根據(jù)三容斥之

4、不包含的容斥原理，設(shè)只參加兩種的有x人，可得352831x（62）=55，解得x=27人；只參加一種=總?cè)藬?shù)只參加兩種參加三種=55276=22，選D及格率極值分析問題至少問題例1：某中學(xué)初二年級(jí)共有620名學(xué)生參加期中考試，其中語(yǔ)文及格的有580名，數(shù)學(xué)及格的有575名，英語(yǔ)及格的有604名，以上三門功課都及格的至少有多少名同學(xué)？【河北2010】A.575B.558C.532D.519解析：總及格門數(shù)=580575604=1759，給

5、620名同學(xué)每人分兩門，還剩下1759解法一：參加跳遠(yuǎn)的50人、參加跳高的40人、參加賽跑的30人；設(shè)只參加兩項(xiàng)的x人、參加三項(xiàng)的y人，可得504030x（2y）=100，整理得x2y=20，求xy的最小值，xy=20y、y最大取10，所以xy最少取10，選C解法二：參加跳遠(yuǎn)的50人、參加跳高的40人、參加賽跑的30人，參賽的總?cè)舜?504030=120，分給每個(gè)人一次，剩下120100=20次，要想使不止參加一個(gè)的人數(shù)最少，把這20次

6、分給10個(gè)人、每人再分兩次，相當(dāng)于這10個(gè)人三次都參加，選B例8：某校初三年級(jí)100人參加體育會(huì)考，會(huì)考設(shè)有長(zhǎng)跑、跳遠(yuǎn)、投擲3項(xiàng)，通過(guò)不止一項(xiàng)的可獲中考加分獎(jiǎng)勵(lì)，每人至少都通過(guò)了一項(xiàng)。其中未通過(guò)長(zhǎng)跑的有51人，未通過(guò)跳遠(yuǎn)的有61人，未通過(guò)投擲的有71人。則至少有多少人獲得加分？A.8B.9C.12D.17解析：通過(guò)長(zhǎng)跑的49人、通過(guò)跳遠(yuǎn)的39人、通過(guò)投擲的29人，總通過(guò)人次數(shù)=493929=117次，先分給100人每人一次，多出17次；

7、要想加分的人最少，讓通過(guò)的人盡可能三門全通過(guò)，多出的17次可以再分給8個(gè)人每人兩次（這8個(gè)人三門全通過(guò)）、剩下的1次分給一個(gè)人（這個(gè)人通過(guò)兩門），所以至少有81=9人加分，選B例9：共有100個(gè)人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對(duì)，答對(duì)了3道和3道以上的人員能通過(guò)考試，請(qǐng)問至少有多少人能通過(guò)考試？【國(guó)家2008】A.30B.55C.70D.74解析：總答對(duì)的題數(shù)=80928

8、67874=410，先分給每個(gè)人兩道答對(duì)的題，剩下410（1002）=210道題，要想使得通過(guò)考試的人數(shù)最少，則把剩下的210道題分給70個(gè)人、每人再對(duì)3道，則這70人五道全對(duì)，選C例10：共有100個(gè)人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人、92人、98人、90人和50人答對(duì)，答對(duì)了3道和3道以上的人員能通過(guò)考試，請(qǐng)問至少有多少人能通過(guò)考試？A.68B.70C.80D.85解析：總答對(duì)的題數(shù)=809298905

9、0=410，先分給每個(gè)人兩道答對(duì)的題，剩下410（1002）=210道題，要想使得通過(guò)考試的人數(shù)最少，則把剩下的210道題分給70個(gè)人、每人再對(duì)3道，則這70人五道全對(duì)，但是題中第五題只有50人全對(duì)，所以不成立；剩下的210題最多能分給第五題答對(duì)的50人、每人再對(duì)3道，還剩下210503=60道，這60道分給30個(gè)人、每人再對(duì)兩道，通過(guò)考試的人數(shù)=5030=80人，選C例11：共有100個(gè)人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－

10、5題分別有75人、92人、98人、95人和50人答對(duì)，答對(duì)了3道和3道以上的人員能通過(guò)考試，請(qǐng)問至少有多少人能通過(guò)考試？A.70B.80C.85D.90解析：總答對(duì)的題數(shù)=7592989550=410，先分給每個(gè)人兩道答對(duì)的題，剩下410（1002）=210道題，要想使得通過(guò)考試的人數(shù)最少，則把剩下的210道題分給70個(gè)人、每人再對(duì)3道，則這70人五道全對(duì)，但是題中第五題只有50人全對(duì)，所以不成立；剩下的210題分給第五題答對(duì)的50人每