(上網(wǎng))無窮集合及其基數(shù)習題

1、第四章第四章無窮集合及其基數(shù)習題無窮集合及其基數(shù)習題1.1.設為由序列136PA12naaa??的所有項組成的集合，則是否市可數(shù)的？為什么？解：因為序列是可以重復的，故解：因為序列是可以重復的，故若是由有限個數(shù)組成的集合，則是有限的集合；AA若是由無限個數(shù)組成的集合，則是可數(shù)的。AA故本題是至多可數(shù)的。A2.2.證明：直線上互不相交的開區(qū)間的全體所構成的集合至多可數(shù)。證：證：在每個開區(qū)間中取一個有理數(shù)，則這些有理數(shù)構成的集合是整個有理數(shù)

2、集合Q的子集，因此是至多可數(shù)的。3.3.證明：單調函數(shù)的不連續(xù)點的集合至多可數(shù)。證：證：設是所有不連續(xù)點的集合，是一個單調函數(shù)，則對應著Af00xAx??一個區(qū)間，于是由上題便得到證明。0((0)(0))fxfx??4.4.任一可數(shù)集的所有有限子集構成的集族是可數(shù)集合。A證：證：設則且。1212niiikAaaaBaaa?????BA?Bk???令，BBAB?????設，則是Ａ的子集的特征函數(shù)。:01A???｛0，1的有窮序列｝，即，(

3、)BB?????iaA??若，則對應1；若則對應0。于是iaB?iaB?就對應著一個由0，1組成的有限序列0，1，1，0，…，0，()BB????1。此序列對應著一個二進制小數(shù)，而此小數(shù)是有理數(shù)。于是，可數(shù)集的所有A有限子集對應著有理數(shù)的一個子集。?又對應的小數(shù)也不同，故是單射。而可數(shù)集Ａ121212BBBBBB?????的所有有限子集是無窮的，故是可數(shù)的。??解：解：或，或Ctgxtgx()2tgx??3.3.試給出一個具體的函數(shù)，使