關(guān)于集合基數(shù)的研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　關(guān)于集合基數(shù)的研究</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、;/b></p><p>　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上. 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論, 它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等一些自然科學(xué)部門, 為這些學(xué)科提供了奠基的方法. 集合最重要的特征就是基數(shù). 本文以非空有限集合為研究對(duì)象, 首先回顧了集合基數(shù)的基本概念, 其次給出了有關(guān)集合基數(shù)的一些重要性質(zhì), 接著講述了Mobius變換, 最后討論了證據(jù)理論中的

4、貝葉斯密度函數(shù)、貝葉斯函數(shù)、mass函數(shù)、信任函數(shù)以及它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 基數(shù); 貝葉斯密度函數(shù); 貝葉斯函數(shù); 信任函數(shù); mass函數(shù)</p><p>　　The Research of the Cardinality of A Set</p><p><b>　　Abstract</b></p>

5、<p>　　Modern mathematics is based on the set theory. Set theory is the basic theory of modern mathematics, its concepts and approaches have been to the algebra, topology and analysis branches of mathematics and ph

6、ysics, to provide some laying disciplines for some science departments. Cardinality is the most important feature of a set. This thesis is based on the non-empty finite set. In this thesis, the relevant concepts and some

7、 properties of the cardinality of a set are first reviewed. Mobius invers</p><p>　　Keywords:Cardinality; Bayesian density function; Bayesian function; Belief function; Mass function</p><p><b

8、>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 集合基數(shù)的由來與發(fā)展1</p><p>　　1.2 論文組織結(jié)構(gòu)2

9、</p><p>　　2 集合理論基礎(chǔ)3</p><p>　　2.1 集合的基本概念和定理3</p><p>　　2.2 關(guān)于集合基本性質(zhì)的概述5</p><p>　　3 Mobius變換6</p><p><b>　　4 證據(jù)函數(shù)9</b></p><p>　　

10、4.1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)9</p><p>　　4.2 Mass函數(shù)和信任函數(shù)13</p><p>　　4.3 四種證據(jù)函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系14</p><p><b>　　5 小結(jié)21</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p>　　致謝

11、錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 集合基數(shù)的由來與發(fā)展</p><p>　　集合是人們直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對(duì)象匯合在一起, 使之成為一個(gè)整體, 即指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 模糊集合是用來表達(dá)模糊性概念的集合. 又可以叫為模糊集、模糊子集. 1965年, 美國(guó)

12、加利福尼亞大學(xué)控制論專家扎德(L.A.Zadeh)教授在《信息與控制》雜志上發(fā)表論文《模糊集合》. 不同于普通的集合中的每個(gè)元素都具有清晰的、界限分明的性質(zhì), 每個(gè)元素對(duì)于集合具有明確的隸屬關(guān)系. 模糊集合是指具有某個(gè)模糊概念所描述的屬性的對(duì)象的全體. </p><p>　　集合論是專門研究集合的理論. 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 康托(Cantor, 1845年—1918年, 德國(guó))于19世紀(jì)創(chuàng)立了集合論, 為數(shù)

13、學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域. 它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等一些自然科學(xué)部門, 為這些學(xué)科提供了奠基的方法, 改變了這些學(xué)科的面貌.</p><p>　　集合最重要的特征就是基數(shù)(或勢(shì)). 模糊集合中的每個(gè)元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系是不明確的、非此即彼的. 這一概念是由美國(guó)加利福尼亞州大學(xué)控制論專家L. A. 扎德于196

14、5年首先提出的. 模糊集合這一概念的出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)的思維和方法可以用于處理模糊性現(xiàn)象, 從而構(gòu)成了模糊集合論(我國(guó)通常稱為模糊性數(shù)學(xué))的基礎(chǔ). </p><p>　　1874年, 康托在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于集合論的第一篇論文, 提出了“無窮集合”這個(gè)數(shù)學(xué)概念且引進(jìn)了無窮點(diǎn)集的一些概念, 比如基數(shù)、勢(shì)、序數(shù)等, 建立了實(shí)數(shù)連續(xù)性公理, 被稱為“康托公理”. 集合的基數(shù)是指集合的元素個(gè)數(shù)的多少, 對(duì)有限集合來說,

15、基數(shù)就是集合所包含元素的個(gè)數(shù), 兩個(gè)有限集的“大小”相等是指它們包含的元素個(gè)數(shù)相同. 對(duì)于無限集合, 用等勢(shì)來表示兩個(gè)無限集的“大小”相等. </p><p>　　康托于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對(duì)超限數(shù)理論具有決定意義的論文. 在該文中, 他改變了早期用公理定義(序)數(shù)的方法, 采用集合作為基本概念. 他給出了超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義, 引進(jìn)了它們的符號(hào); 依勢(shì)的大小把它們排成一個(gè)“序列”; 規(guī)定了它

16、們的加法、乘法和乘方……到此為止, 康托所能做的關(guān)于超限基數(shù)和超限序數(shù)理論已臻于完成. 但是集合論的內(nèi)在矛盾開始暴露出來. 康托自己首先發(fā)現(xiàn)了集合論的內(nèi)在矛盾. 他在1895年的文章中遺留下兩個(gè)懸而未決的問題: 一個(gè)是連續(xù)統(tǒng)假說; 另一個(gè)是所有超窮基數(shù)的可比較性.</p><p>　　1994年, 陳圖云在《模糊系統(tǒng)和數(shù)學(xué)》中發(fā)表了文章《Fuzzy集的勢(shì)與可數(shù)Fuzzy集的基數(shù)》, 在自然數(shù)集上定義了可數(shù)Fuzz

17、y基數(shù), 并給出了在不確定可數(shù)論域上求Fuzzy集的Fuzzy基數(shù)的方法. 1995年, 王紹智和樂加模發(fā)表了一篇文章《可列論域Fuzzy集合的基數(shù)》, 將有限論域上的Fuzzy集合的擬基數(shù)推廣到可列域中, 并給出了相應(yīng)的概念和性質(zhì). 2000年, 李信巧和周生明發(fā)表了《集合的基數(shù)與元素個(gè)數(shù)》, 在文章中討論了不同的集合之間元素個(gè)數(shù)的比較. 戌健軍在2001年的數(shù)學(xué)通報(bào)中發(fā)表了《集合基數(shù)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》, 在文章中應(yīng)用基數(shù)公式&

18、lt;/p><p>　　解決某些計(jì)數(shù)問題、排列組合中的有關(guān)問題和某些具有重疊圖形的面積或體積計(jì)算等.</p><p>　　1.2 論文組織結(jié)構(gòu)</p><p>　　本文主要分為四部分, 在第一部分主要回顧了集合基數(shù)的相關(guān)背景, 以及集合基數(shù)的應(yīng)用. 第二部分介紹了集合論中的一些基本概念、性質(zhì)和有限集合中的一些基本定理. 第三部分中主要說明了Mobius變換. 第四部分

19、講述了證據(jù)理論, 并論述了證據(jù)理論中的貝葉斯密度函數(shù)、貝葉斯函數(shù)、mass函數(shù)、信任函數(shù)以及它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系. </p><p><b>　　2 集合理論基礎(chǔ)</b></p><p>　　2.1 集合的基本概念和定理</p><p>　　集合是把人們的直觀的或者思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對(duì)象匯合在一起, 使之成為一個(gè)整體. 當(dāng)一個(gè)集合中的

20、元素個(gè)數(shù)是有限個(gè)的時(shí)候, 這個(gè)集合叫作有限集. 有限集中的元素個(gè)數(shù)叫作集合的基數(shù), 用表示. 對(duì)給定的一個(gè)集合, 的冪集就是的所有子集的集合, 即. 對(duì)于給定的兩個(gè)集合和, 從到的映射是指對(duì)每一個(gè)元素, 有.</p><p>　　定義2.1 設(shè)是一個(gè)非空的集合, 如果的一個(gè)子集</p><p><b>　　; </b></p><p><

21、;b>　　滿足以下條件</b></p><p>　　(1)中的任何元素都是非空集合, 即;</p><p>　　(2)中的任何元素和都是不交的, 即;</p><p><b>　　(3);</b></p><p>　　那么, 叫作集合的一個(gè)劃分.</p><p>　　從集合的基本

22、概念, 顯然可以得出以下定理.</p><p>　　定理2.1 對(duì)有限集, 有(當(dāng)為偶數(shù)), (當(dāng)為奇數(shù)). </p><p>　　定理2.2 如果是一個(gè)非空的有限集, 是集合的一個(gè)劃分, 那么. </p><p>　　定理2.3 如果 那么, 且.</p><p>　　定理2.4 對(duì)任意的集合和, 有</p><

23、p><b>　　(1);</b></p><p>　　(2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), .</p><p>　　定理2.5 設(shè), 則有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明 當(dāng)時(shí), </b></p><p><b&g

24、t;　　.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 若該定理為真命題. 即</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜合以上, 由數(shù)學(xué)歸納法

25、得證.</p><p>　　定理2.6 對(duì)有限集, 有, ; 規(guī)定, .</p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　反復(fù)利用, 有.</b></p><p>　　定理2.7 對(duì)有

26、限集, , 有 .</p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2 關(guān)于集合基本性質(zhì)的概述</p><p>　　性質(zhì)2.1 對(duì)于有限集, .&l

27、t;/p><p>　　證明 由定理2.7直接可以得證.</p><p>　　性質(zhì)2.2 對(duì)任意的有限集合和, .</p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　事實(shí)上, 性質(zhì)2.1就是性質(zhì)2.2在時(shí)的特殊情況.<

28、;/p><p>　　性質(zhì)2.3 對(duì)每個(gè)有限集合, 若, , 則有.</p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　3 Mobius變換</p><p>　　Mobius變換在證據(jù)函數(shù)中起著重要的作用.</p>

29、;<p>　　定理3.1 假設(shè)是有限集, 和是上的函數(shù). 對(duì)任意的有成立, 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的有.</p><p><b>　　證明 充分性</b></p><p>　　對(duì)所有的, 有, 那么</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　必要性<

30、;/b></p><p>　　如果對(duì)所有的, 有, 那么</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　定理3.2 假設(shè)是有限集, 和是上的函數(shù). 對(duì)任意的有成立, 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的, 有.</p><p>&

31、lt;b>　　證明 充分性</b></p><p>　　如果對(duì)所有的, 有, 那么</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　必要性</b></p><p>　　如果對(duì)所有的, 有, 那么</p><p><b>　　.

32、</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　定理3.3 假設(shè)是有限集, 和是上的函數(shù). 任意的有成立, 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的, 有.</p><p>　　證明 令, . 那么</p><p><b>　　,</b></p><p>　

33、　再由定理3.2定理顯然得證.</p><p>　　定理3.4 假設(shè)是有限集, 和是上的函數(shù), 且. 任意非空的集合有成立, 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意真子集, 有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明 充分性</b></p><p>　　如果對(duì)所有非空的子集, 有; 且

34、, 那么</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　必要性</b></p><p>　　如果對(duì)所有的真子集, 有, 且, 那么</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4 證據(jù)函數(shù)</

35、b></p><p>　　4.1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)</p><p>　　貝葉斯理論在目前的證據(jù)理論中是相對(duì)比較簡(jiǎn)單有用的一部分, 這一部分主要討論貝葉斯函數(shù)和貝葉斯密度函數(shù)以及這兩者之間的一個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系.</p><p>　　定義4.1 函數(shù), 如果滿足, 那么叫作一個(gè)貝葉斯密度函數(shù).</p><p>　　定義4.2 如果函數(shù)滿足<

36、/p><p><b>　　(1),</b></p><p><b>　　(2),</b></p><p>　　(3)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), .</p><p>　　則叫作一個(gè)貝葉斯函數(shù).</p><p>　　定義4.3 如果函數(shù)滿足</p><p><b&g

37、t;　　(1);</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　則叫作一個(gè)mass函數(shù).</p><p>　　定義4.4 若集合由一個(gè)mass函數(shù)的所有焦元構(gòu)成, 則集合叫做這個(gè)mass函數(shù)的核.</p><p><b>　　.</b></p>

38、<p>　　例4.1 對(duì)任意的, 定義函數(shù), 則函數(shù)是一個(gè)貝葉斯密度函數(shù).</p><p>　　證明 由對(duì)任意的, 可知;</p><p><b>　　并且對(duì)任意的, 有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜合以上條件, 得證.</p>

39、<p>　　例4.2 對(duì)的任何子集, 定義函數(shù), 則為一個(gè)貝葉斯函數(shù).</p><p>　　證明 我們只需要證明出函數(shù)滿足定義即可.</p><p>　　首先, 由對(duì)的任何子集, , 所以得到;</p><p>　　并且可以證明滿足條件</p><p><b>　　;</b></p><

40、p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), . 所以有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜合以上幾條可得函數(shù)為一個(gè)貝葉斯函數(shù).</p><p>　　定理4.1 貝葉斯函數(shù)是單調(diào)遞增的, 即.</p>

41、<p>　　定理4.2 如果函數(shù)滿足</p><p><b>　　(1);</b></p><p><b>　　(2).</b></p><p><b>　　那么以下結(jié)論等價(jià)</b></p><p>　　(1)是一個(gè)貝葉斯函數(shù);</p><p&g

42、t;　　(2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ;</p><p><b>　　(3), ;</b></p><p><b>　　(4);</b></p><p><b>　　(5)若, 則有</b></p><p>　　. (4.1)</p>

43、<p>　　證明 我們用方法, 來證明這個(gè)定理.</p><p>　　由貝葉斯函數(shù)的定義, 顯然得證.</p><p>　　當(dāng)時(shí), 由, 且可以得到 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 我們記, 其中各不相同且.</p><p><b>

44、　　當(dāng)時(shí), </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　, ,…,.</b></p><p><b>　　可以得到</b></p><p><

45、;b>　　.</b></p><p><b>　　由, , 得到 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由. 可知</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><

46、;p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　假設(shè)時(shí), 式子(4.1)成立, 即有</p><p><b>　　.</b></p><p&g

47、t;　　當(dāng)時(shí), 由, 可以得到</p><p><b>　　\\</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由數(shù)學(xué)歸納法得證.</b></p><p>　　由, 特別地, 取得到</p><p><b>　　,

48、</b></p><p><b>　　又由, 可以得到</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　綜上所述, 該定理得證.</p><p>　　定理4.3 如果函數(shù)是貝葉

49、斯密度函數(shù), 那么對(duì)所有的, 是一個(gè)貝葉斯函數(shù), 且對(duì)所有的, 有; 反之, 如果是一個(gè)貝葉斯函數(shù), 那么是一個(gè)貝葉斯密度函數(shù), 且有.</p><p>　　證明 假設(shè)貝葉斯密度函數(shù), 滿足, 定義</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　現(xiàn)在只要證明滿足貝葉斯函數(shù)定義中的條件即可.</p><p&

50、gt;　　由、, 以及的單調(diào)遞增性, 得</p><p><b>　　,.</b></p><p>　　即定義4.2的條件(1)、(2)得證.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜上可

51、知, 是一個(gè)貝葉斯函數(shù).</p><p>　　假設(shè)是一個(gè)貝葉斯函數(shù), 定義函數(shù), . 現(xiàn)在只要證明函數(shù)滿足貝葉斯密度函數(shù)定義中的條件即可.</p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　又</b></p&g

52、t;<p><b>　　, .</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　4.2 mass函數(shù)和信任函數(shù)</p><p>　　mass函數(shù)是貝葉斯密度函數(shù)的推廣形式, 證據(jù)理論是貝葉斯理論的推廣. 這一部分主要討論mass函數(shù)和信任函數(shù)以及這兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.</p&g

53、t;<p>　　定義4.5 如果函數(shù)滿足</p><p><b>　　(1);</b></p><p><b>　　(2);</b></p><p>　　(3)以集合的子集為元素的集合,</p><p><b>　　.</b></p><p&

54、gt;　　那么函數(shù)叫作一個(gè)信任函數(shù).</p><p>　　4.3 四種證據(jù)函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系</p><p>　　在證據(jù)理論中, 證據(jù)是以證據(jù)函數(shù)的形式出現(xiàn)的, 以上兩部分中我們已經(jīng)介紹了四種證</p><p>　　據(jù)函數(shù), 分別為貝葉斯函數(shù), 貝葉斯密度函數(shù), mass函數(shù)和信任函數(shù). 在這一部分, 我們主要講述這四種證據(jù)函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系.</p

55、><p>　　定理4.4 函數(shù)是貝葉斯密度函數(shù), 若定義, , 且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, 則函數(shù)是一個(gè)mass函數(shù). 反之, 如果函數(shù)是一個(gè)mass函數(shù), 且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, 定義, . 那么函數(shù)是貝葉斯密度函數(shù).</p><p>　　證明 函數(shù)是貝葉斯密度函數(shù), 定義, . 且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, 現(xiàn)在只要證明滿足mass函數(shù)定義中的條件即可.</p><p>

56、<b>　　又由,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　以及的單調(diào)遞增性, 得</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　假設(shè)函數(shù)是一個(gè)mass函數(shù), 且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, 定義</p><p>&

57、lt;b>　　, .</b></p><p>　　現(xiàn)在只要證明函數(shù)滿足貝葉斯密度函數(shù)定義中的條件即可.</p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　且滿足</b></p><

58、p><b>　　.</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　定理4.5 函數(shù)是mass密度函數(shù), 若定義, , 則函數(shù)</p><p>　　是一個(gè)信任函數(shù), 且, . 反之, 若函數(shù)是一個(gè)信任函數(shù), 定義, ,則函數(shù)是mass密度函數(shù), 且, .</p><p&g

59、t;　　證明 假設(shè)函數(shù)是mass密度函數(shù), 定義, . 現(xiàn)在只要證明滿足信任函數(shù)定義中的條件即可.</p><p>　　由 , 以及函數(shù)的單調(diào)遞增性, , 得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即有, , 則定義4.5的條件(1)、(2)得證.</p><p>　　令, 并設(shè)對(duì)每個(gè), .&l

60、t;/p><p>　　以下分三種情況討論:</p><p>　　(1)當(dāng)中的, 那么.</p><p>　　(2)當(dāng), 當(dāng)且僅當(dāng).</p><p>　　(3)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)某些有.</p><p><b>　　又由, 可知</b></p><p><b>　　. <

61、/b></p><p>　　假設(shè)函數(shù)是一個(gè)信任函數(shù), 定義, . 現(xiàn)在只要證明函數(shù)滿足mass密度函數(shù)定義的條件即可. </p><p><b>　　由, 可知</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p>

62、<p><b>　　以下證明, .</b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 令, , 且是各不相同的.</p><p><b>　　記, 則, .</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　;</b></p

63、><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜合以上得, .</b></p><p>　　最后根據(jù)定理3.1得, , 成立, 定理得證.</p><p>　　推論4.1 信任函數(shù)是單調(diào)遞增的,

64、 即.</p><p>　　證明 定義, . 由題意函數(shù)為一個(gè)信任函數(shù), 根據(jù)定理4.5可知, , . </p><p>　　當(dāng)時(shí), , 則有. 得證. </p><p>　　定理4.6 如果函數(shù)是貝葉斯函數(shù), 那么是一個(gè)信任函數(shù)且它的mass函數(shù)</p><p><b>　　, .</b></p>&

65、lt;p>　　且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, 若定義為這個(gè)貝葉斯函數(shù)的貝葉斯密度函數(shù), 則有</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 要證明為一個(gè)信任函數(shù), 只需要證明它滿足信任函數(shù)的定義即可. 由貝葉斯函數(shù)的定義可知函數(shù)滿足</p><p>　　; ; 且當(dāng)時(shí), .</p><p>　　顯

66、然滿足信任函數(shù)的定義. </p><p>　　定義函數(shù), , 且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, . </p><p>　　對(duì)任意的, , 特別地, 對(duì)于任意只含有一個(gè)元素的集合, . 則函數(shù)滿足.</p><p><b>　　又.</b></p><p>　　由, 以及對(duì), . 可以得到</p><p>&l

67、t;b>　　.</b></p><p>　　所以是一個(gè)mass函數(shù).</p><p><b>　　又, , 有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由定理4.5可知mass函數(shù)的信任函數(shù)為, 且信任函數(shù)的mass函數(shù)為. </p>&l

68、t;p>　　因?yàn)闉樨惾~斯函數(shù)的貝葉斯密度函數(shù), 由定義得</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　從而得到</b></p>

69、<p><b>　　, .</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　定理4.7 如果為一個(gè)信任函數(shù), 定義它的mass函數(shù)為, . 且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, 那么為一個(gè)貝葉斯函數(shù)且它的貝葉斯密度函數(shù)為, .</p><p>　　證明 由題設(shè), 要證明為一個(gè)貝葉斯函數(shù), 我們只

70、要證明滿足貝葉斯函數(shù)的定義. 事實(shí)上, 由已知為一個(gè)信任函數(shù)可知, .</p><p>　　又根據(jù)定理4.5, 當(dāng), , 時(shí), 有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因?yàn)闉樨惾~斯函數(shù)的貝葉斯密度函數(shù), 由定義可以知道</p><p><b>　　, .</b></p

71、><p><b>　　及 </b></p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　從而得到</b></p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　得證.</b>&

72、lt;/p><p>　　定理4.8 如果函數(shù)bel為一個(gè)信任函數(shù), 那么為貝葉斯函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的mass函數(shù)的任何子集都是單點(diǎn)集. 如果定義為貝葉斯函數(shù), d為它的貝葉斯密度函數(shù), 那么有</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 函數(shù)的mass函數(shù)的所有核都只含有一個(gè)元素. 即對(duì)任何非單點(diǎn)集, . 再根據(jù)定理4.7

73、, 可以得出函數(shù)為一個(gè)貝葉斯函數(shù).</p><p>　　如果函數(shù)為貝葉斯函數(shù), 由定理4.6, 函數(shù)為一個(gè)信任函數(shù), 且它的mass函數(shù)為 </p><p><b>　　, .</b></p><p>　　且對(duì)任何非單點(diǎn)集, .</p><p>　　所以, 函數(shù)的mass函數(shù)的所有核都只含有一個(gè)元素.</p>

74、<p>　　當(dāng)為貝葉斯函數(shù), 為它的貝葉斯密度函數(shù), 再由定理4.6, 有</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　總結(jié)以上, 可以得到以下關(guān)系:</p><p>　　貝葉斯函數(shù)和貝葉斯密度函數(shù)之間</p>

75、<p><b>　　, , .</b></p><p>　　貝葉斯密度函數(shù)和mass函數(shù)(且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, )之間</p><p><b>　　, , .</b></p><p>　　mass函數(shù)(且對(duì)的任何非單點(diǎn)集, )和信任函數(shù)之間</p><p><b>　　, ,

76、 .</b></p><p><b>　　4 小結(jié)</b></p><p>　　集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論, 它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等學(xué)科中. 在集合論中, 基數(shù)是一個(gè)很重要的特征. 集合基數(shù)的應(yīng)用十分廣泛, 其中在證據(jù)理論中占有舉足輕重的地位. </p><p>　　本文首

77、先回顧了在非空有限集中集合基數(shù)的基本概念定義, 運(yùn)算性質(zhì). 再展示了4種Mobius變換, 即函數(shù)之間的一種相互表示的等價(jià)關(guān)系. 接著利用集合基數(shù)的性質(zhì)和定理來研究證據(jù)理論中的四種證據(jù)函數(shù)之間的關(guān)系. </p><p>　　通過對(duì)本次論文的撰寫, 我對(duì)集合基數(shù)有了更加全面的了解, 并對(duì)證據(jù)函數(shù)以及幾種函數(shù)之間的關(guān)系有了相對(duì)的認(rèn)識(shí), 同時(shí)也讓我體會(huì)到了學(xué)術(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性, 從一定程度上培養(yǎng)了我的毅力以及做事要認(rèn)真的態(tài)度.

78、 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　Zadeh L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control, 1965, 8: 33~35.</p><p>　　周-道本. 康托的無窮的數(shù)學(xué)和哲學(xué) [M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 2008.</p><p

79、>　　陳圖云. Fuzzy集的勢(shì)與可數(shù)Fuzzy基數(shù) [J]. 遼寧師范大學(xué), 1994, 9(1): 1~3.</p><p>　　王紹智, 樂加模. 可列論域Fuzzy集合的基數(shù) [J]. 上海機(jī)械高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào), 1995, 9(3): 10~16.</p><p>　　李信巧, 周生明. 集合的基數(shù)與元素個(gè)數(shù) [J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2000, 18(1

80、): 28~31.</p><p>　　戌健君. 集合基數(shù)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 [J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2001, 10: 10~12.</p><p>　　程其襄, 張奠宙, 魏國(guó)強(qiáng)等. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.</p><p>　　王元元, 張桂蕓. 離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論 [M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2001.</

81、p><p>　　Shiryayev A.No. Probability [M].Berlin: Springer-verlag, 1984.</p><p>　　Wu W.-Z, Zhang M, Li H.-Z, Mi J.-S. Knowledge reduction in random information systems via Dempster-Shafer theory of e