第5講 靜電場(iii)(b422)

1、2024年3月31日星期日,電磁場與電磁波,主講：李龍,Field and Wave Electromagnetics,Lilong@mail.xidian.edu.cn,2,Review,電偶極子介質(zhì)極化束縛電荷介質(zhì)高斯定理介質(zhì)中的場方程靜電場邊界條件,Lilong@mail.xidian.edu.cn,3,靜電場邊界條件,如果電場中存在兩種或兩種以上的介質(zhì)，由于極化效應(yīng)，在不同介質(zhì)的交界面上產(chǎn)生一層束縛面電荷，這層面電荷在

2、分界面兩邊產(chǎn)生的場是不一樣的，因此在分界面上電場強(qiáng)度和電位移都將發(fā)生突變。介質(zhì)分界面上各個場量發(fā)生突變的規(guī)律即為邊界條件。 推導(dǎo)邊界條件應(yīng)從積分形式的基本方程出發(fā),Lilong@mail.xidian.edu.cn,4,靜電場邊界條件,電場強(qiáng)度E的邊界條件在界面上某點(diǎn)處取閉合矩形回路l，其長邊分別位于介質(zhì)1和介質(zhì)2中，且緊貼界面，即 h→0； 為該點(diǎn)處切線方向單位矢量，顯然有 為該點(diǎn)處法線方向單位矢量；界面兩側(cè)的電場強(qiáng)度

3、分別為靜電場電場強(qiáng)度滿足：,,,,,,介質(zhì)1,介質(zhì)2,h,△l,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,5,靜電場邊界條件,由于h→0，路徑l在h方向的兩條邊上的積分→0 由于△l足夠小，電場強(qiáng)度在 上可看作常矢；在介質(zhì)交界面上，電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù),,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,6,靜電場邊界條件,電位移D的邊界條件設(shè)界面上某點(diǎn)處取一個很小的柱面S，兩底面分別

4、處于介質(zhì)1、2中，其底面面積為△S 法向單位矢量 從介質(zhì)1指向介質(zhì)2；柱面?zhèn)让嫫叫杏?柱面上下底面緊貼界面h→0界面兩側(cè)的電位移分別為靜電場電位移滿足：,h,△S,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,7,靜電場邊界條件,由于h→0，電位移在側(cè)面的積分→0；△S 很小，底面上的電位移可看作常矢；Q為S所包含的自由電荷，若界面上有密度為ρs的自由電荷，則電位移法向分量在有自由面電荷的介質(zhì)

5、交界面上不連續(xù)，在無自由面電荷的介質(zhì)交界面上連續(xù),Lilong@mail.xidian.edu.cn,8,靜電場邊界條件,導(dǎo)體的邊界條件導(dǎo)體內(nèi)部電場為0，因而在導(dǎo)體表面上：電場強(qiáng)度只有法向分量電位移的法向分量等于導(dǎo)體表面上的電荷密度,,,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,9,第5講 靜電場中的導(dǎo)體系統(tǒng),當(dāng)電場中存在導(dǎo)體時，在外電場的作用下導(dǎo)體內(nèi)部的電子做宏觀運(yùn)動，其結(jié)果是：一方面影響導(dǎo)體外的電場

6、分布；另一方面使導(dǎo)體內(nèi)部的總電場為零。物理解釋：重新分布的電荷會在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生相應(yīng)的電場，而該電場與外電場的方向相反，當(dāng)電荷的宏觀運(yùn)動達(dá)到平衡時（即分布達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)），分布電荷的電場恰與外部電場相互抵消。平衡狀態(tài)時的導(dǎo)體成為等位體，表面成為等位面,Lilong@mail.xidian.edu.cn,10,第5講 靜電場中的導(dǎo)體系統(tǒng),導(dǎo)體系統(tǒng)的電容電場能量能量密度電場力,Lilong@mail.xidian.edu.cn,11,

7、導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，導(dǎo)體本身是等位體；導(dǎo)體表面是等位面，內(nèi)部無電荷，電荷分布在導(dǎo)體表面；在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個導(dǎo)體攜帶電荷一定，它們的電位及其電荷面密度完全由各導(dǎo)體幾何形狀、相對位置和導(dǎo)體間介質(zhì)特性等系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定；為描述這種關(guān)系，引入電位系數(shù)、電容系數(shù)及部分電容的概念。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,12,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,帶有等值異號電荷的兩個導(dǎo)體構(gòu)成一個電容器電容是描述這兩個導(dǎo)

8、體系統(tǒng)物理屬性的一個物理量其大小與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相對位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容與兩導(dǎo)體所帶電荷及其間電位差有如下關(guān)系：電容與導(dǎo)體的帶電情況無關(guān)。（ ，而E與q成正比）一個孤立的導(dǎo)體可認(rèn)為是它與無窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)體構(gòu)成的一個特殊的電容器,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,13,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,孤立導(dǎo)體的電容,【定義】孤立導(dǎo)體電容C定義為導(dǎo)體電荷Q與導(dǎo)體電位V之

9、比：,( F ) 法拉,【Note】C 與Q 和 V 無關(guān)，它是導(dǎo)體的內(nèi)稟量。,電容C是導(dǎo)體最重要的固有特征量。它只與導(dǎo)體的形狀、分布以及周圍的介質(zhì)分布有關(guān)，而與導(dǎo)體面上分布的電荷、導(dǎo)體上的電位無關(guān)。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,14,雙導(dǎo)體的電容,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,在電磁工程中，雙導(dǎo)體電容器是應(yīng)用最廣的物理參量，其基本模型如圖：,【定義】雙導(dǎo)體電容器的電容C定義為其中一個導(dǎo)體的正電荷Q與雙導(dǎo)體之間的電位差V12

10、之比：,Lilong@mail.xidian.edu.cn,15,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,電容的求法通常遵循以下步驟：1. 對給定的幾何形狀，選取一個合適的坐標(biāo)系；2. 假設(shè)導(dǎo)體上的電荷＋Q 和－Q；3. 根據(jù)Gauss定理或其他的積分關(guān)系，從Q求電場E；4. 從帶－Q的導(dǎo)體到＋Q 的另一導(dǎo)體進(jìn)行下面的積分運(yùn)算5. 由電容定義求出電容。,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,16,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,例 平行雙

11、導(dǎo)線單位長電容（ ）[解] 因為 ，導(dǎo)線上的電荷分布可看作是密度為ρl的線電荷，由高斯定理可知：,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,17,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,在x軸上兩導(dǎo)體間電壓為：單位長度電容：,,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,18,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,平行板電容器,同軸線電容器,Lilong@mail.xidian.

12、edu.cn,19,電容器的串聯(lián)和并聯(lián),導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,,,串聯(lián),并聯(lián),Lilong@mail.xidian.edu.cn,20,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,電位系數(shù)在n個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，空間任一點(diǎn)處電位由所有導(dǎo)體表面的電荷產(chǎn)生；任一導(dǎo)體的電位也由各個導(dǎo)體表面電荷共同決定，由疊加原理知，導(dǎo)體i上的電位由n部分組成：其中， φij表示導(dǎo)體j對導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)顯然， φij正比于導(dǎo)體j的帶電總量Pij 稱之為電位系數(shù)，它表征了導(dǎo)體j帶1

13、C正電荷而其余導(dǎo)體不帶電時導(dǎo)體i的電位,多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,Lilong@mail.xidian.edu.cn,21,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,將該式通過線性方程組表示出來：亦可寫成矩陣形式,Lilong@mail.xidian.edu.cn,22,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,以Pij為例，由電位系數(shù)的定義可知：導(dǎo)體j帶正電，電力線自導(dǎo)體j出發(fā)，終止于導(dǎo)體i上或終止于地面上。導(dǎo)體i不帶電，有多少電力線終止于它，就有多少電力線自它發(fā)出，所發(fā)出的電

14、力線不是終止于其它導(dǎo)體上，就是終止于地面。電位沿電力線下降，其它導(dǎo)體電位必介于導(dǎo)體j的電位和地面電位之間電位系數(shù)在互易介質(zhì)中,Ground,,,,,,,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,23,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,電容系數(shù)顯然，β為p的逆矩陣 ，△是p的行列式，Mij是Pij的代數(shù)余子式互易介質(zhì)中：方程組形式：,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,24,導(dǎo)體系

15、統(tǒng)的電容,定義：βij為電容系數(shù)。物理意義：導(dǎo)體j電位為1V，其余導(dǎo)體接地時導(dǎo)體i上的感應(yīng)電荷量為βij顯然，導(dǎo)體j的電位比其余導(dǎo)體電位高，電位線應(yīng)從導(dǎo)體j出發(fā)，終止于其它導(dǎo)體或地，即j帶正電，其余導(dǎo)體帶負(fù)電根據(jù)電荷守恒定律，n個導(dǎo)體上的電荷以及地面的電荷為零，即其余n-1個導(dǎo)體所帶電荷總合絕對值必定不大于導(dǎo)體j的電荷量。,Ground,,,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,25,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,改寫：

16、令,,,,,,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,26,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,Note1：每個導(dǎo)體上的電荷均由n部分 組成，且每部分都可在其他導(dǎo) 體上找到等值異號的部分電荷；Note2：Cij是導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的互部分 電容Note3：Cii是導(dǎo)體i與地之間的部分電 容，即就是自電容Note4：部分電容具有互易性，且非負(fù),Lilon

17、g@mail.xidian.edu.cn,27,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,例1 導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個雙導(dǎo)體系統(tǒng)。若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的厚度很薄可以不計，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。[解] 求解電位系數(shù) ①假設(shè)導(dǎo)體1帶電荷q1，導(dǎo)體2不帶電， 無限遠(yuǎn)處電位為0，由對稱性可得： 由電位系數(shù)定義可知：,,Lilong@mail.xidian.edu.c

18、n,28,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,②假設(shè)導(dǎo)體2帶電荷q2，導(dǎo)體1不帶電，無限遠(yuǎn)處電位為0，由對稱性可得： 導(dǎo)體球殼內(nèi)部無電荷，應(yīng)為等位體，所以： 由電位系數(shù)定義可知：,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,29,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,求解電容系數(shù)： 電容系數(shù)矩陣為電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，易知,,Lilong@mail.xidian.edu.cn,30,導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,部分電容 由部分電容的定義易知：,

19、,,1,2,Ground,金屬球殼的靜電屏蔽作用,Lilong@mail.xidian.edu.cn,31,電場能量,電場中某一點(diǎn)的電位等于把單位正電荷從無窮遠(yuǎn)處(參考零電位)移到該點(diǎn)所需做的功。,回顧前面電位的引出和定義 ，我們可以知道，電位V 確是一個有物理意義的量，它與將電荷從一點(diǎn)移到另一點(diǎn)所做的功有關(guān)。 電場強(qiáng)度E定義為作用在單位試驗電荷上的力，因此在電場中把單位電荷從P1點(diǎn)移到P2

20、點(diǎn)就必須克服電場力而作功，此功等于:,Lilong@mail.xidian.edu.cn,32,電場能量,電場能量帶電系統(tǒng)的建立需經(jīng)歷其電荷從零到終值的變化過程，由能量守恒知，此過程必有外力對系統(tǒng)作功，且?guī)щ娤到y(tǒng)的能量等于外力所做的功?？紤]n個帶電體，最終電位分別為φ1、φ2、…、φn，最終電荷為q1、 q2、…、qn。帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過程無關(guān)，僅僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)。,帶電系統(tǒng)電場的儲能,分布電荷系統(tǒng),Lilong@m

21、ail.xidian.edu.cn,33,電場能量,帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的能量也可用電容系數(shù)或電位系數(shù)來表示電容器儲存的靜電能： 電容器極板上電量±q，電壓為U,Lilong@mail.xidian.edu.cn,34,能量密度,電場能量的分析表明了電場的總能量，但沒有表明能量在電場中的分布情況。觀察以上各式→能量分布在電荷所在區(qū)域?qū)嶋H上，只要有電場的地方，移動電荷必然作功，可見，能量是以一定密度分布在整個

22、電場存在的區(qū)域。設(shè)導(dǎo)體面S上有面分布電荷 區(qū)域V內(nèi)有分布體電荷,？,Lilong@mail.xidian.edu.cn,35,能量密度,電位移矢量的場方程：電位移矢量的導(dǎo)體邊界條件：面積分區(qū)域為導(dǎo)體面S體積分區(qū)域為體電荷存在的區(qū)域V，即S與S’包圍的區(qū)域,Lilong@mail.xidian.edu.cn,36,能量密度,區(qū)域V以外電荷密度為0，因而，將體積分區(qū)域擴(kuò)展至無窮遠(yuǎn)對體積分的結(jié)果無影響。利用可得對于分

23、布在有限區(qū)域的電荷，無窮遠(yuǎn)處場量趨于0，因而,Lilong@mail.xidian.edu.cn,37,能量密度,[定義]電場中某一點(diǎn)單位體積儲存的靜電能量稱之為靜電 場的能量密度，以we表示：Note1：對于各向同性介質(zhì)：Note2： 積分區(qū)域為電場分布的空間。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,38,能量密度,例4 若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)

24、，計算 電場能量。[解] 用高斯定理可以得到電場為,Lilong@mail.xidian.edu.cn,39,能量密度,例5 若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，當(dāng)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U(外導(dǎo)體的電位為零)時，求單位長度的電場能量 [解]設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間電壓為U時，內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量 為ρl，則導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度為：

25、 兩導(dǎo)體間的電壓為： 易得： 單位長度的電場能量為,Lilong@mail.xidian.edu.cn,40,電場力,帶電體間的相互作用力可以通過庫侖定律計算；除了少數(shù)簡單情形外這種計算往往較難；比如真空中帶電體1對帶電體2的作用力為：顯然，該積分式的求解對于非正規(guī)形體非常復(fù)雜，在積分處理上難以計算。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,41

26、,電場力,為了更廣泛地討論帶電體間的作用力，提出了虛位移法：思路：假設(shè)在電場力F作用下受力導(dǎo)體發(fā)生一個位移dr電場力做功F. dr電場強(qiáng)度發(fā)生改變進(jìn)而引起電場能量發(fā)生改變dWe能量守恒定律要求，電場力所作的機(jī)械功和電場能量的變化都是外電源作功dWb的結(jié)果：虛位移法可在兩種假設(shè)條件下以不同的方式求得電場力,Lilong@mail.xidian.edu.cn,42,電場力,Note：電源作功dWb的結(jié)果使導(dǎo)體電量q有一個增量dq

27、， 同時，導(dǎo)體的電位φ有一增量dφ虛位移法的兩種假設(shè)：有位移dr而電量q不變；有位移dr而電位φ不變。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,43,電場力,電荷不變虛位移過程中，各個導(dǎo)體電荷量不變，即各導(dǎo)體都不連接外源，此時外源對系統(tǒng)作功dWb為零，即因此，在位移的方向上，電場力為 若分別對x、y、z方向作虛位移，則電場力為：,Lilong@mail.xidian.edu.cn,44

28、,電場力,電位不變如果在虛位移的過程中，各個導(dǎo)體的電位不變， 就意味著每 個導(dǎo)體都和恒壓電源相連接。當(dāng)導(dǎo)體的相對位置改變時， 每個電源因要向?qū)w輸送電荷而作功。設(shè)各導(dǎo)體的電位分別為φ1、φ2、…、φn，各導(dǎo)體的電荷增量分別為dq1、dq2、…、dqn， 則電源作功為,Lilong@mail.xidian.edu.cn,45,電場力,系統(tǒng)的電場能量為 系統(tǒng)能量的增量為 在位移的方向上，電場力為 若分別對x、y、z方向作

29、虛位移，則電場力為：,Lilong@mail.xidian.edu.cn,46,電場力,下標(biāo)q表示求偏導(dǎo)時電荷不變；負(fù)號的物理概念：外電源未對系統(tǒng)作功，因而對于dr位移所做的功是以減小系統(tǒng)儲能為代價的下標(biāo)φ表示求偏導(dǎo)時電位不變；其物理概念是：導(dǎo)體必連接在端電壓不變的外電源上，通過外電源向?qū)w輸送電荷保持能量守恒。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,47,靜電力,Note1：通過兩種假設(shè)得到的結(jié)果雖然形式不一樣

30、，但是 所確定的電場力一定是唯一的Note2：虛位移法需首先確定電場能量與位移間的函數(shù)關(guān) 系，通過電場能量對位移的偏導(dǎo)來確定電場力。,電場能量與位移間的函數(shù)關(guān)系,關(guān)鍵,難點(diǎn),Lilong@mail.xidian.edu.cn,48,電場力,例6 若平板電容器極板面積為A，間距為x，電極之間的 電壓為U，求極板間的作用力[解] 設(shè)一個極板在yoz平面，第二個極板的坐標(biāo)為x，此 時，電容器儲能為

31、 若極板電位不變，則極板受到的電場力：,Lilong@mail.xidian.edu.cn,49,電場力,若極板電量q不變，則：可見，兩種假設(shè)確定的電場力一致。,Lilong@mail.xidian.edu.cn,50,電場力,虛位移法還能分析導(dǎo)體受到的力矩。若假設(shè)某一導(dǎo)體繞z軸有一個角位移dθ，則其所受力矩的z分量Tz作功為Tzdθ，這時，力矩計算式為,Lilong@mail.xidia