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1、第六章第六章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用1證明:設(shè)證明:設(shè))(xf為][ba上連續(xù)且非負,則上連續(xù)且非負,則??badxxf0)(的充要條件為的充要條件為)(xf在][ba上恒為零,即上恒為零,即0)(?xf。證明:充分性是顯然的,以下證明必要性。證明:充分性是顯然的,以下證明必要性。法10:反證法。若存在][0bax?為)(xf的某一連續(xù)點,且0)(0?xf,則0???,使)(xf0)(210??xf,][)(00baxxx?????
2、?從而有??badxxf)(0)()(000????????xxxfdxxf與已知矛盾。從而結(jié)論成立。法20:對一切的][bax?有???xadxxf)(0??badxxf0)(從而??xadxxf0)(,][bax?。那么??xadxxfdxd0)(即0)(?xf。2利用定積分求極限:利用定積分求極限:1))212111(limnnnIn?????????;2)nnnnnnJ)12()1(1lim??????。解:1))212111(
3、limnnnIn????????????????ninnni1111lim2ln)1ln(11010??????xxdx2)nnnnnnJ)12()1(1lim??????nnnnn)11()11(1lim????????nninin1)1(limexp10????????edxx4)1ln(exp(10????3設(shè)在設(shè)在][ba上)(xg為連續(xù)函數(shù),為連續(xù)函數(shù),)(xf為單調(diào)的連續(xù)可微函數(shù)。證明:存在為單調(diào)的連續(xù)可微函數(shù)。證明:存在]
4、[ba??,存在)10()1(??c?,使0)(???F。即0)()(??????ff。7設(shè)設(shè))(xf在區(qū)間在區(qū)間][ba上是連續(xù)且遞增的函數(shù),上是連續(xù)且遞增的函數(shù),證明:證明:????babadxxxfdxxfba)(2)()(。證明:法10:只要證??dxxxfba)(0)(2???dxxfbaba令???dxxxftta)()(?dxxftata??)(2,][bat?,則0)(?a?。???)()(ttft?)(2)(21tft
5、adxxfta?????)(ttf)(2)(2tftafat????)(ta??0)]()([2?????ftfat所以)(t?為遞增的函數(shù),因此???dxxxfbba)()(?0)(2???dxxfbaba。法20:由)(xf遞增,所以0)]2()()[2(?????bafxfbax。因此0)]2()()[2(??????bafxfbaxba即??dxxxfba)(???dxxfbaba)(2dxbaxbafba????)2()2(d
6、xxfbaba???)(2法30:dxxfbaxba)()2(???????2(baadxxfbaxbba)()2)(2??????????dxbaxfbaa21)2()(?dxbaxfbba????22)2()(?0)]()([2)(122??????ffab8設(shè)設(shè))(xf在]10[上單調(diào)減少且連續(xù),證明:對上單調(diào)減少且連續(xù),證明:對)10(??q,恒有不等式,恒有不等式??dxxfq0)(dxxfq?10)(。證明:法10:令???
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