相似三角形解題方法、步驟(教師版)

1、9上（5）相似三角形解題方法、技巧、步驟1相似三角形解題方法、技巧、步驟一、相似、全等的關(guān)系一、相似、全等的關(guān)系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣因而學(xué)習(xí)相似形要隨時與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ)二、相似三角形二、相似三角形(1)三角形相似的條件：三角形相似的條件：①；②；③①；②；③.三、三、兩個三角形相似的六種

2、圖形：兩個三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔只要能在復(fù)雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路：四、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路：1）先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等(對平行線型找平行線)，因為這個條件最簡單；2）再而先找一對內(nèi)角對應(yīng)相

3、等，且看夾角的兩邊是否對應(yīng)成比例；3）若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊是否成比例；找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似找夾邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似找夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似找第三邊也對應(yīng)成比例三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個直角斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對應(yīng)成比例判定定理1或判定定理4找頂角對應(yīng)相等判定定理1找底角對應(yīng)相等判定定理1

4、找底和腰對應(yīng)成比例判定定理3e)相似形的傳遞性若△1∽△2，△2∽△3，則△1∽△3五、“三點定形法”，五、“三點定形法”，即由有關(guān)線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，

5、這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運用基本規(guī)律去解決問題。例1、已知:如圖ΔABC中CE⊥ABBF⊥AC.求證:BAACAFAE?（判斷“橫定”還是“豎定”？）例2、如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，∠BAC的平分線分別交BC、CD于點E、F，ACAE=AFAB嗎？說明理由。分析方法：1）先將積式______________2）____

6、__________（“橫定”還是“豎定”？）例1、已知：如圖，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F。求證：CD2=DEDF。分析方法：1）先將積式______________2）______________（“橫定”還是“豎定”？）六、過渡法（或叫代換法）六、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、等量過渡法（等線

7、段代換法）等量過渡法（等線段代換法）遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1：如圖3，△ABC中

8、，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E求證：DE2＝BECE分析：2、等比過渡法（等比代換法）等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例2：如圖4，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC，E是AC的中點，E

9、D交AB的延長線于點F求證：ABDFACAF?a)已知一對等角b)己知兩邊對應(yīng)成比例c)己知一個直角d)有等腰關(guān)系9上（5）相似三角形解題方法、技巧、步驟3求證：（1）BF=CF.(2)BF=FGFE.（練習(xí)題圖）（8如圖，∠ABC=90AD=DBDE⊥AB求證：DC=DEDF.9如圖，ABCD為直角梯形，AB∥CDAB⊥BCAC⊥BD。AD=BD，過E作EF∥AB交AD于F.是說明：（1）AF=BE(2)AF=AEEC.10△ABC中

10、∠BAC=90AD⊥BCE為AC中點。求證：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RT△ABC斜邊AB上的高，在EC延長線上任取一點P連接AP作BG⊥AP垂足為G，交CE于點D.試證：CE=EDEP.(注：此題要用到等積替代，將CE用射影定理替代，再化成比例式。)七、證比例式和等積式的方法：七、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：對線段比例式或等積式的證明：常用“三點定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例

11、式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個相似三角形來證明可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點定形用相可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點定形用相似，三點共線取平截；似，三點共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪和園冪例1如圖5在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高

12、，DF⊥AB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FGFA＝FBFH(2)FD是FG與FH的比例中項1說明：說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似找相似三角形用三點定形法(在比例式中，或橫著找三點，或豎著找三點)，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，□ABCD中，E是BC上的一點，AE交BD于點F，已知BE：EC＝3：1，S△FBE＝18，求：(1)BF：FD(2)