求曲線軌跡方程的五種方法

1、求曲線軌跡方程的五種方法一、直接法如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系，求方程時(shí)可用直接法。例1長(zhǎng)為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得=2a22)20()02(yx???化簡(jiǎn)得x2y2=a，即為所求軌跡方程點(diǎn)評(píng)：本題中存在幾何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。二、定義法如果能夠確立

2、動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法。例2動(dòng)點(diǎn)P到直線x4=0的距離減去它到M（2，0）的距離之差等于2，則點(diǎn)P的軌跡是（）A、直線B、橢圓C、雙曲線D、拋物線解法一：由題意，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M（2，0）的距離等于這點(diǎn)到直線x=2的距離，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，故選D。解法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則|x4|=222)2(yx??當(dāng)x≥4時(shí)，x4=2化簡(jiǎn)得22)2(yx??如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的

3、坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)的點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法。例4已知點(diǎn)M在圓13x213y215x36y=0上，點(diǎn)N在射線OM上，且滿足|OM||ON|=12，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程。分析：點(diǎn)N在射線OM上，而同一條以坐標(biāo)原點(diǎn)為端點(diǎn)的射線上兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為（x，y）與（kx，ky）（k＞0），故采用參數(shù)法求軌跡方程。解：設(shè)N（x，y），則M（kx，ky），k＞0由|OM||ON|

4、=12得=12)(222yxk?22yx?∴k（x2y2）=12，又點(diǎn)M在已知圓上，∴13k2x213k2y215kx36ky=0由上述兩式消去x2y2得5x12y52=0點(diǎn)評(píng)：用參數(shù)法求軌跡，設(shè)參盡量要少，消參較易。五、交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)方程，此法稱為交軌法。例5已知A1A是橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸，CD是垂12222??byax直于A1A的橢圓的弦，求直線A1C與AD的交點(diǎn)P的軌跡方程。解