開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明

1、第1頁，共5頁開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明摘要：要：本文依次對開普勒第二，第三和第一定律進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明，并用物理學(xué)中角動量守恒的方法對開普勒第二定律進(jìn)行證明。關(guān)鍵字：關(guān)鍵字：開普勒定律；角動量守恒MathematicalProofsofKepler’sLawDuYonghao(CivilEngineeringDepartmentofSoutheastUniversityNanjing211189China)Abstr

2、act:MypaperparticularlyderivesKepler’sSecondLawThirdLawFirstLawinmathematicalmethodsinder.LawofConservationofAngularMomentumisalsoappliedtoderiveKepler’sSecondLaw.Keywds:Kepler’sLawLawofConservationofAngularMomentum1前言前言

3、開普勒第一定律，也稱橢圓定律、軌道定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等的時間內(nèi)，太陽和運(yùn)動中的行星的連線（向量半徑）所掃過的面積都是相等的。這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量守恒。開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律、周期定律：各個行星繞太陽的橢圓軌道的半長軸的立方和它們公轉(zhuǎn)周期的平方成正比[1]。2開普勒第二定律證明開普勒第二定律證明2.1數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法令為行星

4、在時刻的位失，令為行星在時刻的位失。面積為??trt??ttr????tt??A?在時刻與時刻間行星位失掃過的面積，即與所圍成的三t??tt????tr????trttrr?????角形面積，如圖1，得：??rtrA????21所以：??trtrtA??????21令，得：0??t????trtrdtdA???21??1圖1[2]第3頁，共5頁根據(jù)角動量守恒定律為常量，所以為常量。所以行星運(yùn)動單位時間內(nèi)掃過的面LmLu2?積為定值。3開

5、普勒第三定律證明開普勒第三定律證明將太陽置為原點（太陽在行星橢圓軌道的一個焦點上），橢圓長軸在軸上，如圖2。x根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，又因為，所以且aCFCF2???CFCF??aCFCF???。aBFBF2???根據(jù)勾股定理：，如圖3222cba??????2222chBF???因為，所以：haBFaBF?????22??????2222224422hahahaBFch????????化簡得：ahac??22又因為，所以：222cba??

6、ahbahacba?????22222??4與軸夾角為，根據(jù)開普勒第一定律得：FBx2???????20212cos112???????????dtdAGMeerrh??因為，ahb?2221???????dtdAGMh所以：??????3222322222242aGMGMdtdAdtdAaahdtdAadtdAabT????????????????5所以開普勒第三定律指出周期的立方和行星與太陽間距的平方成正比。4開普勒第一定律證明開普