巧用旋轉法解幾何題

1、1巧用旋轉法解幾何題將一個圖形繞著某一點旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉，由旋轉的性質(zhì)可知旋轉前后的圖形全等，對應點到旋轉中心的連線所組成的夾角等于旋轉角。旋轉法是在圖形具有公共端點的相等的線段特征時，可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點，旋轉另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?，F(xiàn)就旋轉法在幾何證題中的應用舉例加以說明，供同學

2、們參考。例1如圖在Rt△ABC中，∠C=90，D是AB的中點，E，F(xiàn)分別AC和BC上，且DE⊥DF，求證：EF2=AE2BF2分析：從所證的結論來看，令人聯(lián)想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三條線段不在同一個三角形中，由于D是中點，我們可以考慮以D為旋轉中心，將BF旋轉到和AE相鄰的位置，構造一個直角三角形，問題便迎刃而解。證明：延長FD到G，使DG=DF，連接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）

3、∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90∴∠EAG=90∴EG2=AE2AG2=AE2BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2BF2例2，如圖2，在⊿ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是⊿ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù).分析：題目已知條件中給出了三條線段的長度和一個直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故可考慮通過旋轉變換移至一個三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直

4、角頂點C為旋轉中心。解：作MC⊥CP，使MC=CP，連接PM，BMGFEDCBA3證明：延長FC到N，使CN=AE，連結BN∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AC，∠BAC=90∵∠EBF=45∴∠ABE∠CBF=45由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE∴∠CBN∠CBF=45，即∠EBF=∠NBF又BE=BN，BF=BF∴⊿EBF≌⊿NBF（SAS）∴BM=BC∴BM=BA例5、如圖6，五邊形ABCDE中，AB＝AE，B

5、C＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180。求證：∠ADE＝∠ADC。解析：條件中有共點且相等的邊AE和AB，可將△ADE以點A為中心，順時針方向旋轉∠BAE的角度到△AFB的位置，如圖7。這就使已知條件∠ABC＋∠AED＝180和BC＋DE＝CD通過轉化得到集中，使解題思路進一步明朗。由△ADE≌△AFB，得∠AED＝∠ABF，∠ADE＝∠AFB，ED＝BF，AF＝AD。由∠ABC＋∠AED＝180，得∠ABC＋∠ABF＝180。所以

6、C、B、F三點共線。又CD＝BC＋DE＝BC＋BF＝CF，故∠CFD＝∠CDF。由AF＝AD，得到∠DFA＝∠FDA?！唷螦DE＝∠AFB＝∠CFD＋∠DFA＝∠CDF＋∠FDA＝∠ADC。例6、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一個點，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的邊長。32分析：PA、PB、PC比較分散，可利用旋轉將PA、PB、PC放在一個三角形中，為此可將△BPA繞B點逆時針方向旋轉60可得△BHC。解：把△BPA繞B點逆時