高中數(shù)學(xué)--空間向量之法向量求法及應(yīng)用方法

1、1高中數(shù)學(xué)空間向量之高中數(shù)學(xué)空間向量之平面法向量的求法及其應(yīng)用平面法向量的求法及其應(yīng)用一、一、平面的法向量平面的法向量1、定義、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無???a?a??數(shù)條。2、平面法向量的求法、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或，或?(1)nxy??(1)nxz??(1)nyz??]，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的

2、方程組，?ab??n???0na????0nb????xy解此方程組即可得到。n?方法二：任何一個(gè)的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個(gè)平面的方程是的一次方程。zyxzyx，稱為平面的一般方程。其法向量若平面與3個(gè)坐0????DCzByAx)0(不同時(shí)為CBA)(CBAn??標(biāo)軸的交點(diǎn)為如圖所示則平面方程為:稱此方程為平面的截距)00()00()00(321cPbPaP1???czbyax式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。方法

3、三(外積法):設(shè)為空間中兩個(gè)不平行的非零向量，其外積為一長度等于，（θ為???ba?sin||||??ba兩者交角，且），而與皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由????0的方向轉(zhuǎn)為的方向時(shí)，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向。???ba????????abba:)()(222111則設(shè)zyxbzyxa????????????21yyba21zz21xx?21zz21xx????21yy（注：1、二階行列式:；2、適合右手

4、定則。）caM?cbaddb??例1、已知，，)121()012(?????ba試求（1）：（2）：???ba.???abKey:(1))521(?????ba)521()2(?????ab例2、如圖11在棱長為2的正方體中，1111ABCDABCD?求平面AEF的一個(gè)法向量。n?圖11C1CByFADxA1D1zB1E)221(:??????AEAFnkey法向量3②在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量；?AB③求向量在上的射影d，則

5、異面直線a、b間的距離為?AB?n其中||||?????nnABdbBaAbnan??????（2）、點(diǎn)到平面的距離:方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)：如圖25若點(diǎn)B為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則點(diǎn)P到n平面α的距離公式為||||?????nnABd（3）、直線與平面間的距離:方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)：如圖26直線與平面之間的距離：a?，其中。是平面的法向量||ABndn????????aBA???n??（4）、平面與平面間的距離:方

6、法指導(dǎo)方法指導(dǎo)：如圖27兩平行平面之間的距離：??，其中。是平面、的法向量。||||?????nnABdAB????n???3、證明證明（1）、證明線面垂直：在圖28中向是平面的法向量，是直線a的方向向?m??a量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。???am?（2）、證明線面平行：在圖29中向是平面的法向量，是直?m??a線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。0????am（3）、證明面面垂直：在圖210中，是