微分幾何

1、第三節(jié) 空間曲線,3.1 空間曲線的密切平面3.2 空間曲線的基本三棱形3.3 空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)公式3.4 空間曲線在一點臨近的結(jié)構(gòu)3.5 空間曲線論的基本定理3.6 一般螺線,3.1 空間曲線的密切平面,定義： 過空間曲線上 點的切線和 點鄰近一點 可作一平面 ，當(dāng) 點沿著曲線趨于 時，平面

2、 的極限位置 稱為曲線在 點的密切平面。且把過 點與密切面垂直的直線稱為曲線在 點的副法線。 思考：平面曲線的密切面？,密切平面的方程,設(shè)曲線 是 類曲線， 上的點 及其鄰近一點 ，根據(jù)泰勒公式有：其中 ，由于切向量 及

3、 都在平面 上，因此他們的線性組合也在平面 上，即 在平面 上，從而知,在所求密切面上。當(dāng) 時， 就是所求密切面的一個法向量，所以曲線 在 點的密切面方程為即其中 表示 點的密切

4、平面上任一點的向徑。也可以用行列式表示：,如果曲線是平面曲線，那么它在每一點的密切平面都是曲線所在的平面。反之，如果一條曲線的密切平面固定，則曲線是平面曲線。,例：求螺線 上點 的密切平面例：求曲線在點 的密切面,命題： 空間曲線 為平面曲線的充要條件是,3.2空間曲線的基本三棱形,給出 類曲線 和

5、 上一點 。設(shè)曲線 的自然參數(shù)表示是其中 是自然參數(shù)，則是一單位向量， 稱為曲線 上 點的單位切向量,由于 ，由第一節(jié)命題可知即在 上取單位向量 稱為曲線 上 點的主法向量。再作單位向量 稱為曲線 上

6、 點的副法向量。,我們把兩兩正交的單位向量 稱為曲線上 點的伏雷內(nèi)標(biāo)架。由 知伏雷內(nèi)標(biāo)架構(gòu)成右手系。,因為 ，所以切向量和主法向量所確定 的平面就是曲線 在 點的密切平面，又因為 和 都垂直于切向量 ，所以 和

7、 所確定的平面是曲線上 點的法平面， 和 所確定的平面則稱為曲線上 點的從切平面,方程分別為：密切平面 或法平面 或從切平面 或,單位向量 稱為曲線的基本向量。由三個基本向量和密切平面、法平面、從切平面所夠成的圖形稱為曲線的基本三棱形

8、,對于曲線 的一般參數(shù)表示有,3.3空間曲線論的基本公式,定義： 空間曲線 在 點的曲率為其中 為 點及其鄰近點 間的弧長， 為曲線在點 和 的切向量的夾角。曲率刻畫了曲線的彎曲程度。,對于空間曲線，曲線不僅彎曲而且還要扭轉(zhuǎn)，所以有刻畫曲線彎曲程度的量－－－撓率。用副法向量（或密切

9、平面）的轉(zhuǎn)動速度來刻畫曲線的扭轉(zhuǎn)程度?，F(xiàn)在設(shè)曲線 上一點 的自然參數(shù)為 ，另一鄰近點 的自然參數(shù)為 ，在 兩點作曲線 的副法向量 和 ，此兩個副法向量的夾角是由第一節(jié)命題知（P11）幾何意義是它的數(shù)值為曲線的副法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。,定義：曲線 在

10、 點的撓率為撓率的絕對值是曲線的副法向量（或密切平面）對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。,空間曲線的伏雷內(nèi)公式,這組公式是空間曲線論的基本公式。它的特點是基本向量 關(guān)于弧長 的微商可以用 的線性組合來表示。系數(shù)組成反稱的方陣,曲率和撓率的一般參數(shù)表示式,給出 類的空間曲線曲率的一般參數(shù)表示式一般參數(shù)表示的撓率計算公式,空間曲線

11、在一點的密切圓（曲率圓）是過曲線 上一點 的主法線的正側(cè)取線段使 的長為 。 以 為圓心，以 為半徑在密切平面上確定一個圓，這個圓稱為曲線 在 點的密切圓（曲率圓），曲率圓的中心稱為曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲率半徑。,P42 例 求圓柱螺線

12、 的曲率和撓率。例 證明曲率恒等于零的曲線是直線。例 證明撓率恒等于零的曲線是平面曲線。,練習(xí)： 1.求半徑為 的圓的曲率。 2.利用基本公式求曲線 的基本向量、曲率、撓率。 3.設(shè)曲線 的撓率 曲率

13、 曲率半徑為 則 在以原點為中心的 球面上的充要條件是,3.4空間曲線在一點鄰近的結(jié)構(gòu),我們研究空間曲線在一點臨近的形狀。在 類曲線 上取一點 ，為了研究點 臨近的形狀，在它臨近再取一點 利用泰勒公式有其中,由于所以其中

14、 而等表示在點 的值。,由上式可得在 的每一個分量中只取第一項，則有,現(xiàn)在取 為新坐標(biāo)系，并取為計算弧長的始點，則有 ，如果為曲線上點 的臨近點的新坐標(biāo)，則有,它可以看作在

15、 點鄰近，曲線 的近似方程。由此看出，曲線在某點的曲率和撓率完全決定了曲線在該點鄰近的近似形狀。,下面我們通過曲線在基本三棱形的三個平面上的投影來觀察曲線在一點鄰近的形狀。,近似曲線在法平面 上的投影是消去參數(shù) 后有它是半立方拋物線,曲線在從切平面 上的投影是消去參數(shù) 后

16、，有它是立方拋物線,曲線在密切平面 上的投影是它是拋物線,通過畫出以上三個投影的立體圖形就可以看出空間曲線在一點鄰近的近似形狀。 從以上分析可以看出：1.曲線穿過法平面和密切平面，但不穿過從切平面。2.主法向量總是指向曲線凹入的方向，這就是主法向量正向的真正意義。3.當(dāng) 時，曲線在 附近是右旋的；當(dāng) 時，曲線在

17、 附近是左旋的，這就是撓率的幾何意義。,3.5空間曲線論的基本定理,曲線的每一點都有確定的曲率和撓率，如果以弧長為參數(shù)，則有這兩個關(guān)系式只與曲線本身有關(guān)，而與曲線的剛體運動及空間曲線坐標(biāo)變換無關(guān)。我們把 稱為空間曲線的自然方程。,空間曲線論的基本定理：,給出閉區(qū)間 上的兩個連續(xù)函數(shù) ，則除了空間的位置差

18、別外，惟一地存在一條空間曲線，使得參數(shù) 是曲線的自然參數(shù)，并且 和 分別為曲線的曲率和撓率，即曲線的自然方程為,為了確定曲線的位置，設(shè) 時，曲線對應(yīng)空間 點（即 ），并且在該點的基本向量為給定的兩兩正交的右手系的單位向量,證明（1）以 和 為系數(shù)建立微分方程組

19、 （1.23）根據(jù)微分方程組解的存在定理，此方程對于初始條件 時 有唯一一組解：,這是以 為端點的曲線。下證 是兩兩正交的右手系的單位向量,（2）再作微分方程組：,利用（1.23

20、），則上述微分方程組可成為 （1.24）,由已知條件 在 連續(xù)； 時 是兩兩正交的右手系的單位向量，即根據(jù)微分方程組解

21、的存在定理，存在唯一的一組解。但是當(dāng) （1.25）時方程組（1.24）被滿足，所以它們是（1.24）的一組解。,由上述（1.25）可知 是兩兩正交的單位向量。于是有但是混合積 是

22、 的連續(xù)函數(shù)，由于當(dāng) 時它等于+1，所以對于所有的 都為+1，即 成右手系。由此得出 是兩兩正交的構(gòu)成右手系的單位向量。,（3）由于已得到 ，把（1.23）中的第一個式子兩端積分，利用初始條件 即得曲線的方程

23、 （1.26）（4）因為 所以弧長 即 若取 則得 為曲線的自然參數(shù),（5）由 可知 為曲

24、線的切向量，再由 ，可得 為曲線的曲率。有（1.23）中的第二式可知 是所求曲線的主法向量。再根據(jù)（2）， 是曲線的副法向量。所以 是曲線的基本向量。,（6）曲線的撓率

25、為由以上可見，由方程（1.26）所確定的曲線是以為自然參數(shù)， 為曲率， 為撓率的曲線。,現(xiàn)在證明唯一性設(shè) 和 是兩條曲線，它們在對應(yīng)點 有相同的曲率 和撓率 ，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膭傮w運動，可以使曲線 和 在對應(yīng)于自然數(shù)為 的點連同在這點的基本三棱形相重合。我們設(shè)

26、 和 為分別對應(yīng)于曲線 和 的基本向量。兩組向量函數(shù) 和 都是方程組（1.23）的解，并且這些解具有相同的初始條件，根據(jù)微分方程論的解的存在定理，這兩組解是完全相同的。特別是 即