版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、_微積分教程微積分教程微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué),包括求積分的運(yùn)算,為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分的基本介紹微積分學(xué)基本定理指出,求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算[把上
2、下限代入不定積分即得到積分值,而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積],這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué),但是在教學(xué)中,微分學(xué)一般會(huì)先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想,‘無限細(xì)分’就是微分,‘無限求和’就是積分。十七世紀(jì)后半葉,牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作,分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量,但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因
3、為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算,所以,直到十九世紀(jì),柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論,這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué),首要的一步就是要理解到,“極限”引入的必要性:因?yàn)?,代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念,但是,代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以,必須要利用代數(shù)處理代表無限的量,這時(shí)就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中,我們可以知道,這個(gè)概念繞過了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩,相反引入了一個(gè)過
4、程任意小量。就是說,除的數(shù)不是零,所以有意義,同時(shí),這個(gè)小量可以取任意小,只要滿足在德爾塔區(qū)間,都小于該任意小量,我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧,但是,他的實(shí)用性證明,這樣的定義還算比較完善,給出了正確推論的可能性。這個(gè)概念是成功的。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的,它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中,有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)
5、展。客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后,就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深,也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要,一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的,可以說它是繼歐氏幾何后,全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。微積分的本質(zhì)【參考文獻(xiàn)】劉里鵬.《從割圓術(shù)走向無窮小——揭秘微積分》,長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出
6、版社,20091用文字表述:增量無限趨近于零,割線無限趨近于切線,曲線無限趨近于直線,從而以直代曲,以線性化的方法解決非線性問題,這就是微積分理論的精髓所在。2用式子表示:_符號,遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號,這對微積分的發(fā)展有極大的影響?,F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題,運(yùn)用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到,一門科學(xué)的創(chuàng)立決
7、不是某一個(gè)人的業(yè)績,他必定是經(jīng)過多少人的努力后,在積累了大量成果的基礎(chǔ)上,最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。不幸的是,由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余,在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候,竟然引起了一場悍然大波,造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國,囿于民族偏見,過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前,因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實(shí),牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究,在大體上相近的時(shí)
8、間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右,但是正式公開發(fā)表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處,也都各有短處。那時(shí)候,由于民族偏見,關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出,這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣,牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個(gè)問題上,其說不一,十分含糊。牛頓的無窮小量,有時(shí)候是零,有時(shí)候不是零而是有
9、限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷,最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初,法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首,對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究,建立了極限理論,后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星:瑞士的雅科布?貝努利和他的兄弟約翰?貝努利、歐拉
10、、法國的拉格朗日、柯西……歐氏幾何也好,上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好,都是一種常量數(shù)學(xué),微積分才是真正的變量數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支,不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題,它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里,建立了數(shù)不清的豐功偉績。微積分的基本內(nèi)容研究函數(shù),從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來從廣義上說,數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科,但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等
11、同起來,數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞,一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括:極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括:定積分、不定積分等。微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的。最初,牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對第谷浩瀚的天文觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運(yùn)算,得到了萬有引力定律,并進(jìn)一步導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后,微積分學(xué)成了推動(dòng)近代數(shù)學(xué)發(fā)展強(qiáng)大的引擎,同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 眾賞文庫僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
評論
0/150
提交評論