以“教會思考”為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

1、以“教學(xué)生思考”為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究——以“平面向量的數(shù)量積”為例南京市中華中學(xué)夏小強2100191問題的提出問題的提出南京師范大學(xué)的涂榮豹先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)有三個：一是使學(xué)生愛學(xué)；二是會學(xué)；三是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力指的就是數(shù)學(xué)的教學(xué)要教學(xué)生學(xué)會思考。教師在教學(xué)過程中，對數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式存在差異，這種差異對學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識也許影響不大，但對學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的影響卻可能有很大的差別。2教學(xué)內(nèi)容說明教學(xué)內(nèi)容說明向量

2、是刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型，力、速度、位移等都是向量的實際背景，可以用向量加以刻畫和描述。用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫位移、速度、力這樣的量？這個數(shù)學(xué)模型有什么性質(zhì)與應(yīng)用？這就是《平面向量》的中心問題，也是本章的知識學(xué)習(xí)的固著點。向量的數(shù)量積是在向量的線性運算基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的一種新的運算，向量的線性運算是封閉性運算，而向量的數(shù)量積運算是不封閉性，運算的對象是二元的，而運算的結(jié)果又是一元的，這種運算的不封閉性對學(xué)生的認(rèn)知造成了很大的失衡。3教學(xué)

3、案例分析教學(xué)案例分析筆者近期聽了兩堂關(guān)于“平面向量的數(shù)量積”的課，兩位老師的教學(xué)過程都分為五個環(huán)節(jié)：問題情境——抽象模型——辨析模型（內(nèi)涵、外延）——模型性質(zhì)（運算律）——數(shù)學(xué)應(yīng)用，兩位老師都是以“問題”的形式來推動教學(xué)過程。本文結(jié)合其中的環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)四，來探究在教學(xué)中如何實現(xiàn)教學(xué)生“學(xué)會思考”。3.1環(huán)節(jié)一問題情境環(huán)節(jié)一問題情境【甲教師】【甲教師】師：（問題1）向量的運算有向量的加法、減法、數(shù)乘，叫做向量的線性運算，那么向量與向量能否

4、“相乘”呢？生：能。師：向量與向量“相乘”這種運算怎么定義呢？生：應(yīng)該不是線性運算。師：為什么？生：老師，向量的加法、減法、數(shù)乘，叫做向量的線性運算，向量與向量“相乘”沒有和它們放在一起學(xué)，那肯定和它們不一樣了。師：怎么個不一樣法？生：師：我們是怎么得到向量的線性運算的，它的結(jié)果是什么？生：是通過將實際生活中，物理中的矢量的合成與分解，速度在某時間段的位移抽象出來的，得到的結(jié)果還是向量。師：那你想一想，向量與向量“相乘”的結(jié)果是什么呢？

5、生：那應(yīng)該不是向量了。師：結(jié)果不是向量那只能是什么？生：數(shù)數(shù)量（不是很肯定）師（點頭）：是數(shù)量，那我們在實際生活中有這樣的物理背景嗎？生：做功，力做功的結(jié)果就是標(biāo)量，是一個數(shù)。師：好，那我們來分析這個物理背景?？纯磸那蠊Φ倪\算中可以抽象出什么樣的向量運算？現(xiàn)知識的“創(chuàng)造”過程，這個“創(chuàng)造”的過程，就是研究數(shù)學(xué)的一般方法。不僅僅向量可以這樣研究，許多別的知識也可以這樣研究，如函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等。這種教學(xué)，不僅教了知識，也教會

6、了學(xué)生如何思考。3.2環(huán)節(jié)四向量數(shù)量積的運算律環(huán)節(jié)四向量數(shù)量積的運算律【甲教師】【甲教師】師：我們學(xué)習(xí)了向量的數(shù)量積，下面我們來學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積的運算律。（問題3）實數(shù)的運算滿足哪些運算律呢？生：交換律、結(jié)合律、分配律。師：那請同學(xué)們類比一下，向量的數(shù)量積滿足交換律、結(jié)合律、分配律嗎？（學(xué)生計算、思考）3分鐘后，生：滿足交換律，不滿足結(jié)合律。師：滿足分配律嗎？生：應(yīng)該滿足吧。師：為什么滿足分配律，說說理由，你能證明嗎？生：師：好，大家類

7、比一下實數(shù)的運算，應(yīng)該是滿足分配律的?，F(xiàn)在大家還不會證明是因為我們沒有學(xué)向量的投影，現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)向量的投影。（教師開始介紹向量的投影）【乙教師】【乙教師】師：我們剛剛一種新的運算——向量的數(shù)量積，學(xué)習(xí)了一種運算后，下一步我們應(yīng)該研究什么？生：研究它的性質(zhì)。師：哪些性質(zhì)？生：是否滿足運算的交換律、結(jié)合律、分配律？師：滿足嗎？（學(xué)生計算、思考）生：滿足交換律，不滿足結(jié)合律，分配律還不確定。師：怎么不能確定？生：不知道怎么證明。師：那怎么辦

8、？不會證明就沒辦法知道是否滿足分配律嗎？生：能不能先用特殊的向量試試看？師：對啊，你為什么不先試試看呢？（學(xué)生用特殊向量計算、驗證）生：滿足。師：為什么滿足？生：我用好幾個特殊的向量驗證后都滿足了。師：那不特殊的向量也滿足嗎？你的結(jié)論具有一般性嗎？生：那得證明后才能知道了。師：好，那我們下面就來證明這個結(jié)論?！窘虒W(xué)意圖】【教學(xué)意圖】甲教師：教師通過設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生通過類比實數(shù)的運算律，證明向量的數(shù)量積所滿足的運算律。乙教師：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)