一道中考壓軸題的命制過程及考后的反思

1、1EDCBAPQBCA一道中考壓軸題的命制過程及考后的反思一道中考壓軸題的命制過程及考后的反思葛建華（教育廳教研室）施?。ㄅd慶區(qū)教師發(fā)展中心）摘要：中考試題具有選拔、評價、引導(dǎo)、促進(jìn)教學(xué)等功能2014年寧夏中考壓軸題，以學(xué)生熟悉的一道試題為素材，改變、添加適當(dāng)?shù)膱D形條件，變“靜態(tài)”為“動態(tài)’，把觀察、探究、計(jì)算結(jié)合在一起，設(shè)置蘊(yùn)含直角三角形、三角形相似、三角形全等、二次函數(shù)的逐次遞進(jìn)的問題，通過不斷嘗試形成試題從數(shù)學(xué)思維角度分析，含有數(shù)

2、形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，達(dá)到了有效考查學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的關(guān)鍵詞：中考壓軸題；命制；反思筆者參與命制了2014年寧夏中考試卷，其中一道壓軸題命制的心路歷程和閱卷后的反思，現(xiàn)整理成文與大家交流分享一、一、素材選擇素材選擇根據(jù)試卷雙向細(xì)目表，所命制的試題為壓軸題，應(yīng)設(shè)計(jì)為以幾何問題為背景，與動態(tài)探究相結(jié)合的綜合性問題，把觀察、探究、計(jì)算結(jié)合在一起，使其蘊(yùn)含直角三角形、三角形相似、三角形全等、二次函數(shù)的相關(guān)知識及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想

3、基于以上思考，筆者以下面一道學(xué)生熟悉的試題為素材進(jìn)行改編原題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足為E若AC=6，BC=8，求CD的長作為中考試題的壓軸題，一是要關(guān)注核心內(nèi)容；二是試題背景要為學(xué)生所熟悉，以體現(xiàn)考試的公平性；三是要適度創(chuàng)新，在學(xué)生熟悉的背景下，將靜態(tài)問題改編成動態(tài)問題，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力，達(dá)到區(qū)分不同層次學(xué)生的目的二、試題改編過程二、試題改編過程函數(shù)與變化過程緊密相關(guān)，要與函數(shù)相

4、聯(lián)系，需弱化原題的條件，變定點(diǎn)D為動點(diǎn)點(diǎn)D在CB上運(yùn)動、其它條件不變時，∠CAD、∠EAD、∠ADC、∠ADE、∠ADB、∠BDE的大小隨之發(fā)生變化，△ACD、△ADB、△ADE、△BED的面積也隨之發(fā)生變化其中△ACD、△ADB、△ADE、△BED中不變的角有∠C、∠B、∠AED，∠BED考慮到△ACD與△ADB的高AC=6（常數(shù)），其面積是關(guān)于另一直角邊（變量）的一次函數(shù)，△ADE與△BDE的兩直角邊都能用某一變量表示出來，其面積是

5、關(guān)于某一變量的二次函數(shù)，且用某一變量表示直角三角形兩邊時都要用到相似三角形的性質(zhì)，因而初步改變?nèi)缦拢焊淖?：如圖，在Rt中，∠C=90，AC=3BC=4P是BC邊上的一動ABC△點(diǎn)，過P作PQ⊥AB垂足為Q，連接AP（1）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時，是否都有△PBQ∽△ABC；解：（1）點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B（與點(diǎn)B重合）時，△PBQ變?yōu)橐稽c(diǎn)，此時△PBQ∽△ABC不成立；3在Rt中，由勾股定理，得ABC△222ACABBC??∴BC=AC3∴=時，

6、Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等?3另法：由已知條件得AQ=QB=AC在Rt中，∴∠B=60ABC△21sin??ABACB由BC=AC得=??3tan??BABAC∴=時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等?3②是否存在滿足關(guān)系式BC=AC的，使Rt△AQP既與Rt△PCA全等，也與??Rt△BQP全等假設(shè)存在滿足關(guān)系式BC=AC的，使Rt△AQP既與Rt△PCA全等，也與Rt△??BQP全等

7、∵Rt△AQP≌Rt△PCA∴AQ=PCPQ=AC∵Rt△AQP≌Rt△BQP∴AQ=QB∴AQ=QB=PC∴∠PAC=∠APQ=∠BPQ∠APC=∠PAQ=∠B在Rt中∠BAC∠B=90∴∠PAC2∠B=90ABC△在Rt△BPQ中∠BPQ∠B=90∴∠PAC∠B=90∴∠B=0與是直角三角形矛盾ABC△∴不存在滿足關(guān)系式BC=AC的，使Rt△AQP既與Rt△PCA全等，也與Rt△??BQP全等③是否存在滿足關(guān)系式BC=AC的，使Rt

8、△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt??△PQB全等=時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△PQB全等，解答略?3④是否存在滿足關(guān)系式BC=AC的，使Rt△AQP既與Rt△PCA全等，也與Rt??△PQB全等=時，Rt△AQP既與Rt△PCA全等，也與Rt△PQB全等，解答略?3綜上推理、驗(yàn)證知：①③④成立，②不成立存在性問題探索的方向是明確的，探索的結(jié)果一種是存在，另一種是不存在，由于上述分類類型多，有存在的（3種），也有

9、不存在的（1種），因而取消了考查分類思想的想法，選擇了類型①；探索的方法有直接求解法和假設(shè)求解法（如上面（3）中解法）直接求解法，是直接從已知條件人手，逐步試探，求出滿足條件的對象，使問題得到解決的解法考慮到用直接求解法求出符合條件的值，就可說明的存在??性，為了減少題干的長度，補(bǔ)充（3）小題為：（3）在Rt中，兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=AC，是否存在一個ABC△?的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等