從一道趣味數(shù)學(xué)題談起

1、從＋＋＝2談起123265(1)等式＋＋＝2的左端是3個(gè)形如且不相同的分?jǐn)?shù)(m為1232651?mm自然數(shù))，它們的和等于2。由此猜想，是否存在4個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)，它們的和等于3。顯然，用解不定方程＋＋＋＝3(p，q，r，s；都是自然數(shù))1?pp1?qq1?rr1?ss的辦法是比較繁難的，不如用分析推理的方法直接去求這4個(gè)分?jǐn)?shù)。為了便于敘述，把要求的4個(gè)分?jǐn)?shù)按照從小到大的順序，分別稱為第一個(gè)分?jǐn)?shù)、第二個(gè)分?jǐn)?shù)、……取第一個(gè)分?jǐn)?shù)為；其余3個(gè)分?jǐn)?shù)

2、的和是312－＝2，2可以看作2＋，由此推知第二個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該大于，取第1212121212二個(gè)分?jǐn)?shù)為；其余兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和是2－＝1，1可以看作1＋321232656565，由此推知第三個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該大于，取第三個(gè)分?jǐn)?shù)為；l－＝；657665764241恰好是一個(gè)形如的分?jǐn)?shù)，即第四個(gè)分?jǐn)?shù)為。于是得到本題的42411?mm4241一組解：，，，。1232764241由此進(jìn)一步猜想，是否存在5個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)，它們的和等于4。仍用上面的思路，取第一個(gè)分?jǐn)?shù)

3、為；其余4個(gè)分?jǐn)?shù)的和是4－＝3，312121212可以看作3＋，由此推知第二個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該大于，取第二個(gè)分?jǐn)?shù)為；121232其余3個(gè)分?jǐn)?shù)的和是3－＝2，2可以看作2＋，由此推知第三1232656565個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該大于，取第三個(gè)分?jǐn)?shù)為；其余兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和為2－＝657665761，1可以看作1＋，由此推知第四個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該大于，取第四4241424142414241如，求6個(gè)形如且不相同的分?jǐn)?shù)(m為自然數(shù))，使它們的和等1?mm于5。本題n＝6，根據(jù)

4、表中n＝5時(shí)的解，前4個(gè)分?jǐn)?shù)為，，；1232764342第五個(gè)分?jǐn)?shù)是＝；第六個(gè)分?jǐn)?shù)是＝1180611805??1807180618071806118071806???32634423263441。檢驗(yàn)：＋＋＋＋＋12327643421807180632634423263441＝3263442326344132616363187548279723621756281631721?????＝＝5326344216317210完全正確。有了這個(gè)

5、方法我們就可以不斷地把問(wèn)題向前推進(jìn)，求出相應(yīng)的解。(2)形如的分?jǐn)?shù)(m是自然數(shù))，最小的是，接下去依次是，1?mm123243，，……這個(gè)數(shù)列(m＝12，3，…)有一個(gè)性質(zhì)，任意取數(shù)列中54651?mm的一個(gè)分?jǐn)?shù)，加上1再減去它后面緊接著的那個(gè)分?jǐn)?shù)所得的差一定還是一個(gè)形如的分?jǐn)?shù)。1?mm如＋1－＝，＋1－＝，＋1－＝，……＋1123265324312114354209109－＝，……1110110109＋1－＝，……7574767557