數(shù)值分析3-計(jì)算方法3線性方程組的數(shù)值解法

1、第三章 線性方程組的數(shù)值解法 線性方程組的數(shù)值解法有兩種 （1）迭代法 （2）直接法,§3.1 線性方程組的迭代法 設(shè)有線性方程組 𝑨𝒙=𝒃 , 𝑨∈ 𝑭 𝒏×𝒏 , 𝒙,𝒃∈ 𝑭 𝒏

2、當(dāng)𝑨𝒙=𝒃為一大規(guī)模線性方程組時(shí)，采用迭代法求解不僅可節(jié)省內(nèi)存，還能減少計(jì)算量。,1、Jacobi迭代法 設(shè)𝑨= 𝑎 𝑖𝑗 ∈ 𝐹 𝑛×𝑛 ，將𝑨矩陣分解為 𝑨=𝑼+𝑫+&#

3、119923;其中𝑫=𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑎 11 , 𝑎 22 ,?, 𝑎 𝑛𝑛 𝑼= 0 𝑎 12 ? 𝑎 1𝑛 0 ? 𝑎 2𝑛

4、 ? ? ? 𝑎 𝑛?1,𝑛 0 𝑳= 0 𝑎 21 0 ? 𝑎 𝑛?1,1 𝑎 𝑛1 ? 𝑎 𝑛?1,2 𝑎 𝑛2 ? ?

5、 0 于是 𝑨𝒙=𝒃 ? 𝑼+𝑫+𝑳 𝒙 =𝒃,假定 𝑎 𝑖𝑖 ≠0 𝑖=1,2,?,𝑛 ，則對角陣𝑫非奇異故有

6、 𝑼+𝑫+𝑳 𝒙 =𝒃 ↓ 𝑫𝒙 =𝒃? 𝑼+𝑳 𝒙 ↓ 𝒙 = 𝑫 ?𝟏

7、19939;? 𝑫 ?𝟏 𝑼+𝑳 𝒙據(jù)此，得下述Jacobi迭代公式 𝒙 𝒌+𝟏 = 𝑫 ?𝟏 𝒃? 𝑫 ?𝟏 𝑼+𝑳 𝒙 ⻚

8、8;,記 𝑩=? 𝑫 ?𝟏 𝑼+𝑳 𝒇= 𝑫 ?𝟏 𝒃則有 𝒙 𝒌+𝟏 =𝑩 𝒙 𝒌 +𝒇

9、其中，矩陣𝑩稱為Jacobi法迭代矩陣?yán)?.1 求解方程組 10 𝑥 1 ?0.2 𝑥 2 ?2 𝑥 3 =7.2 ? 𝑥 1 +10 𝑥 2 ?2 𝑥 3 =8.3 ? 𝑥 1 ? 𝑥 2 +5 𝑥 3 =4.2,將原方程組改為下述等價(jià)形式

10、 𝑥 1 =0.1 𝑥 2 +0.2 𝑥 3 +0.72 𝑥 2 =0.1 𝑥 1 +0.2 𝑥 3 +0.83 𝑥 3 =0.1 𝑥 1 +0.2 𝑥 2 +0.84 據(jù)此，得Jacobi迭代公式取迭代初值,表3.1準(zhǔn)確值 𝑥 1 =1.

11、1， 𝑥 2 =1.2， 𝑥 3 =1.3,2、Gauss-Seidel迭代法 回看上例Jacobi迭代公式在計(jì)算 時(shí)，用到 和 進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)更新的迭代值 已經(jīng)計(jì)算出來，而沒有被應(yīng)用。計(jì)算 時(shí)，沒有利用更新的迭代值 和 。 為加快迭代收斂速度，做如下改進(jìn),仍取初值 表3.2,由上例可見，一般而言，Gauss

12、-Seidel迭代法的收斂速度高于Jacobi迭代法。但是，這兩個(gè)方法的收斂范圍并不完全重合，只是部分相交，在某些情形下，Jacobi迭代法可能比Gauss-Seidel迭代法收斂更快，甚至可能Jacobi迭代法收斂，而Gauss-Seidel迭代法卻迭代發(fā)散。 Gauss-Seidel迭代法的矩陣表示 𝑼+𝑫+𝑳 𝒙 =⻙

13、9; ↓ 𝑫+𝑳 𝒙 =𝒃?𝑼𝒙 ↓,𝒙 = 𝑫+𝑳 ?1 𝒃? 𝑫+𝑳 ?1

14、19932;𝒙據(jù)此，得Gauss-Seidel迭代公式 𝒙 𝑘+1 = ? 𝑫+𝑳 ?1 𝑼 𝒙 𝑘 + 𝑫+𝑳 ?1 𝒃記 𝑩=? 𝑫+𝑳 ?1 w

15、932; 𝒇= 𝑫+𝑳 ?1 𝒃便有 𝒙 𝑘+1 =𝑩 𝒙 𝑘 +𝒇 其中，矩陣𝑩稱為Gauss-Seidel法迭代矩陣,3、超松弛迭代法（SOR） 以G-S迭代法為基礎(chǔ)，構(gòu)造超松弛迭代法

16、 𝒙 𝒌+𝟏 = 𝟏?𝝎 𝒙 𝒌 +𝝎 𝒙 𝒌+𝟏 其中 𝒙 𝒌+𝟏 =𝑩 𝒙 𝒌 +⻚

17、3; 𝑩=? 𝑫+𝑳 ?1 𝑼 𝒇= 𝑫+𝑳 ?1 𝒃𝝎稱為松弛因子 𝝎>1超松弛法，𝝎<1低松弛法 𝝎=1為G-S迭代法,例3.2 用SOR方法解方程組 ?4

18、1 1 1 1 ?4 1 1 1 1 1 1 ?4 1 1 ?4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 = 1 1 1 1 該問題的精確解為 𝑋 ? = ?1,?1,?1,?1 𝑇 解：取 𝑋 (0) = 0,0,0,0 𝑇 ，迭

19、代公式為,如果精度要求為 𝑋 (𝑘) ? 𝑋 ? 2 < 10 ?5 取𝜔=1.3時(shí)，迭代11次的結(jié)果為 𝑋 (11) = ?0.9999964,?1.0000031,?0.9999995,?0.999991 𝑇,4、迭代法的收斂性定理3.1 設(shè)有方程組𝒙=𝑩

20、19961;+𝒇，對于任意初始向量 𝒙 (𝟎) 及任意𝒇，迭代公式 𝒙 𝒌+𝟏 =𝑩 𝒙 𝒌 +𝒇收斂的充要條件是 𝜌 𝑩 <1證明：設(shè)

21、19961; ? 為方程𝒙=𝑩𝒙+𝒇的準(zhǔn)確解，即 𝒙 ? =𝑩 𝒙 ? +𝒇對任意初值 𝒙 (0) 及任意𝒇，迭代公式為 𝒙 𝑘+1 =𝑩 𝒙 ⻕

22、6; +𝒇于是 𝒙 𝑘 ? 𝒙 ? =𝑩 𝒙 𝑘?𝟏 ? 𝒙 ?,= 𝑩 2 𝒙 𝑘?𝟐 ? 𝒙 ?

23、 ? = 𝑩 𝑘 𝒙 𝟎 ? 𝒙 ? 結(jié)合定理1.7，即可得證。例3.3 考察用迭代法解下列方程組 𝒙 𝑘+1 =𝑩 𝒙 𝑘 +𝒇的收斂性，其

24、中 𝑩 = 𝟎 𝟑 𝟖 ? 𝟐 𝟖 ? 𝟒 𝟏𝟏 𝟎 𝟏 𝟏𝟏 ? 𝟔 𝟏𝟐 ? 𝟑 𝟏𝟐 𝟎,解：矩

25、陣𝑩的特征值分別為 𝜆1=?0.3082 𝜆2=0.1541+0.3245𝑖 𝜆3=0.1541?0.3245𝑖這里 𝜆1 =0.3082<1

26、 𝜆2 = 𝜆3 =0.3592<1此時(shí) 𝜌 𝑩 <1于是，迭代公式 𝒙 𝑘+1 =𝑩 𝒙 𝑘 +𝒇對任意初始向量是收斂的。,定理3.2 （迭代收斂的充分條件）設(shè)有迭代公式

27、 𝒙 𝒌+𝟏 =𝑩 𝒙 𝒌 +𝒇如果 𝑩 𝒋≠𝒊 𝒂 𝒊𝒋 ，𝒊=𝟏,𝟐,?,𝒏系數(shù)矩陣⻗

28、2;對角占優(yōu)的線性方程組𝑨𝒙=𝒃 稱作對角占優(yōu)的線性方程組。,顯然 𝐿= max 1≤𝑖≤𝑛 𝑗≠𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑎 𝑖𝑖 <1定理3.3 如果線性方程組

29、𝑨𝒙=𝒃是對角占優(yōu)的，則其Jacobi迭代公式對任意初始向量是收斂的。證明：將方程𝑨𝒙=𝒃改為如下等價(jià)形式 𝑥 𝑖 = 1 𝑎 𝑖𝑖 𝑏 𝑖 ? 𝑗≠𝑖 ⻔

30、6; 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 顯然有 𝑥 𝑖 ?= 1 𝑎 𝑖𝑖 𝑏 𝑖 ? 𝑗≠𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ?,Jacobi迭

31、代公式為于是 由此,記故有 ，因此，得 ，所以，Jacobi迭代法收斂。 同理，可證明，當(dāng)線性方程組𝑨𝒙=𝒃是對角占優(yōu)方程組時(shí)，其Gauss-Seidel 迭代公式收斂。,§3.2 線性方程組的直接解法

32、1、Gauss消元法 設(shè)有方程組𝑨𝒙=𝒃 其中 𝑨= 𝑎 11 𝑎 12 ? 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 ? 𝑎 2𝑛 ? 𝑎 𝑛1 ? w

33、886; 𝑛2 ? ? 𝑎 𝑛𝑛 為后續(xù)討論方便，記 𝑨 1 = 𝑨, 𝒃 1 =𝒃,原方程為 𝑨 1 𝒙= 𝒃 1,1）假定 ，分別計(jì)算

34、 ，𝑖=2,3,?,𝑛用 乘方程組 𝑨 1 = 𝑨第一個(gè)方程，分別加到第𝑖個(gè) 𝑖=2,3,?,𝑛 方程上，由此得與 𝑨 1 𝒙= 𝒃 1 等價(jià)的方程組,,記作 𝑨 2 𝒙=

35、 𝒃 2 2）假定 ，分別計(jì)算 ，𝑖=3,4,?,𝑛用 乘方程組 𝑨 1 = 𝑨第一個(gè)方程，分別加到第𝑖個(gè) 𝑖=2,3,?,𝑛 方程上，由此得,3）重復(fù)上述消元過程，經(jīng)過Ү

36、99;?1次消元，得該方程組為一個(gè)上三角方程組,4）回代求解 從計(jì)算 𝑥 𝑛 開始，依次解出 𝑥 𝑛?1 ,?, 𝑥 1 ，這個(gè)過程稱作回代過程，具體公式為

37、 𝑖=𝑛?1,𝑛?2,?,1,第一次消元記作記作 𝐿 1 𝐴 (1) = 𝐴 (2) 運(yùn)算次數(shù)：乘除法 𝑛?1 +𝑛× 𝑛?1 =(𝑛?1)(𝑛+1)加法𝑛× 𝑛?1,第

38、二次消元記作 𝐿 2 𝐴 (2) = 𝐴 (3) 運(yùn)算次數(shù)：乘除法 𝑛?2 + 𝑛?1 × 𝑛?2 = 𝑛?2 𝑛加法(𝑛?1)× 𝑛?2,第𝑛?1次消元記作 𝐿 𝑛?1 &#

39、119860; (𝑛?1) = 𝐴 (𝑛) 運(yùn)算次數(shù)：乘除法1+2加法2 𝐿 𝑛?1 𝐿 𝑛?2 ? 𝐿 2 𝐿 1 𝐴= 𝐴 (𝑛),消元過程總的乘除法次數(shù) 𝑛?1 𝑛

40、;+1 + 𝑛?2 𝑛+ 𝑛?3 𝑛?1 + ?+1×3= 𝑛 3 3 + 𝑛 2 2 ? 5𝑛 6 消元過程總的加法次數(shù) 𝑛 𝑛?1 + 𝑛?1 𝑛?2 + 𝑛?2 𝑛?3 + ?+1&#

41、215;2= 𝑛 3 3 ? 𝑛 3 回代過程的乘除法次數(shù)和減法次數(shù)為 𝑛(𝑛+1) 2 ， 𝑛?1 𝑛 2,2、Gauss主元素消元法Gauss消元法存在的問題：當(dāng)元素 時(shí)，消元過程無法進(jìn)行當(dāng)元素 ，但其絕對值很小時(shí)，用它做 除數(shù)，可導(dǎo)致計(jì)算過程中舍入

42、誤差的放大和某 些數(shù)據(jù)數(shù)量級的放大例3.4 用4位浮點(diǎn)數(shù)，求解下列方程組 0.001 2.000 3.000 ?1.000 3.712 4.623 ?2.000 ?1.070 5.643 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 1.000 2.000 3.000,解：Gauss消元法 𝑨?𝒃 = 0.001 2.000 3.000

43、?1.000 ?1.000 3.712 4.623 ?2.000 ?2.000 ?1.070 5.643 ?3.000 → 0.001 2.000 3.000 ?1.000 0 2004 3005 ?1002 0 4001 6006 ?2003 𝑚 21 =1000 𝑚 22 =2000 → 0.001 2.000 3.000 ?1.000 0 20

44、04 3005 ?1002 0 0 5.000 ?2.000 𝑚 32 =?1.997 利用回代過程，得 𝒙= 0.000,?0.0998,0.4000 𝑻,而該方程組舍入到4位有效數(shù)字的解為 𝒙 ? = ?0.4904,?0.05104,0.3675 𝑻,2、 Gauss完全主元消元法 在矩陣⻗

45、2;中找到絕對值最大的元素 𝑎 𝑝𝑞 ，稱作主元，將方程組𝑨𝒙=𝒃的第p個(gè)方程與第1個(gè)方程互換，系數(shù)矩陣𝑨的第q列與第1列互換，然后做第1次消元，得等價(jià)方程組 𝑨1,在矩陣 𝑨 1 中尋找絕對值最大的元素，類似前述步驟，做相應(yīng)行列互換，將主元移至第2行第2列，然

46、后做第2次消元。依次類推，得,依回代公式，解得 𝑥 1 , 𝑥 2 ,?, 𝑥 𝑛 𝑇 。最后，按變量的原有順序輸出解 𝑥 1 , 𝑥 2 ,?, 𝑥 𝑛 𝑇 。3、 Gauss列主元消元法 完全主元消元法會改變變量 ⻖

47、9; 1 , 𝑥 2 ,?, 𝑥 𝑛 的順序，如果主元僅限于按列選取，則無需改變變量之間的順序。 比如，第1次消元時(shí)僅在第1列中選主元，然后將主元所在方程與第1行方程互換，此時(shí)變量順序不被改變。,例3.5 用4位浮點(diǎn)數(shù)，求解下列方程組 0.001 2.000 3.000 ?1.000 3.712 4.623 ?2.000 ?1.070 5.643 ⻖

48、9; 1 𝑥 2 𝑥 3 = 1.000 2.000 3.000 解：Gauss列主元消元法 𝑨?𝒃 → ?2.000 ?1.070 5.643 ?3.000 ?1.000 3.712 4.623 ?2.000 0.001 2.000 3.000 ?1.000 𝑚

49、; 21 =?0.5000 𝑚 22 =0.0005 → ?2.000 ?1.072 5.643 ?3.000 0 3.176 1.801 ?0.5000 0 2.001 3.003 ?1.002,𝑚 32 =?0.6300 → ?2.000 ?1.072 5.643 ?3.000 0 3.176 1.801 ?0.5000 0 0 1.868 ?0.6870

50、解得 𝒙= ?0.4900,?0.05113,0.3678 𝑻 該方程組舍入到4位有效數(shù)字的解為 𝒙 ? = ?0.4904,?0.05104,0.3675 𝑻,4、Doolittle三角分解法定理3.4 當(dāng)𝐴∈ 𝑅 𝑛×𝑛 ，且其順序主子式 ? 

51、9894; ≠0 𝑖=1,2,?,𝑛?1 ，矩陣𝐴可做𝐿𝑈分解，即 𝐴=𝐿𝑈其中 𝐿= 1 𝑙 21 1 ? 𝑙 𝑛1 ? 𝑙 𝑛2 ?

52、 ? 1 𝑈= 𝑢 11 𝑢 12 ? 𝑢 1𝑛 𝑢 22 ? 𝑢 2𝑛 ? ? 𝑢𝑛𝑛 由Gauss消元法，得 𝐿 𝑛?1 &

53、#119871; 𝑛?2 ? 𝐿 2 𝐿 1 𝐴= 𝐴 (𝑛),這里 𝐿 = 𝐿 𝑛?1 𝐿 𝑛?2 ? 𝐿 2 𝐿 1 𝑈= 𝐴 (Ү

54、99;) 顯然矩陣 𝐿 可逆，記 𝐿 ?1 =𝐿，于是 𝐴= 𝐿 ?1 𝑈=𝐿𝑈 設(shè)有𝐴𝑋=𝑏，且 𝑎 11 𝑎 12 ? 𝑎 1⻕

55、9; 𝑎 21 𝑎 22 ? 𝑎 2𝑛 ? 𝑎 𝑛1 ? 𝑎 𝑛2 ? ? ? 𝑎 𝑛𝑛 = 1 𝑙 21 1 ? 𝑙 𝑛1 ?

56、 𝑙 𝑛2 ? ? 1 𝑢 11 𝑢 12 ? 𝑢 1𝑛 𝑢 22 ? 𝑢 2𝑛 ? ? 𝑢 𝑛𝑛 由上式可分別求得系數(shù) w

57、897; 𝑖𝑗 𝑖=2,?,𝑛;𝑗=1,?,𝑖?1 𝑢 𝑝𝑞 (𝑞=1,?,𝑛;𝑝=1,?,𝑞),于是方程組𝐴𝑋=𝑏轉(zhuǎn)化為

58、 𝐿𝑈𝑋=𝑏令𝑈𝑋=𝑌，則有𝐿𝑌=𝑏原方程組𝐴𝑋=𝑏的求解轉(zhuǎn)化為下述兩個(gè)三角方程組的求解 𝐿𝑌=𝑏

59、 𝑈𝑋=𝑌計(jì)算量與Gauss消元法相當(dāng),5、系數(shù)矩陣為對稱正定矩陣的線性方程組的平方根方法定理3.5 若𝐴∈ 𝑅 𝑛×𝑛 為對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角元素為正的下三角矩陣𝐿，使 𝐴=𝐿 𝐿 𝑇

60、 （Cholesky分解）其中 𝐿= 𝑙 11 𝑙 21 𝑙 22 ? 𝑙 𝑛1 ? 𝑙 𝑛2 ? … 𝑙 𝑛𝑛 𝑙

61、 𝑖𝑖 >0(𝑖=1,2,?,𝑛),由 𝑎 11 𝑎 21 ? 𝑎 𝑛1 𝑎 21 𝑎 22 ? 𝑎 𝑛2 ? 𝑎 𝑛1 ? 𝑎 w

62、899;2 ? ? ? 𝑎 𝑛𝑛 = 𝑙 11 𝑙 21 𝑙 22 ? 𝑙 𝑛1 ? 𝑙 𝑛2 ? ? 𝑙 𝑛𝑛 𝑙

63、11 𝑙 21 ? 𝑙 𝑛1 𝑙 22 ? 𝑙 𝑛2 ? ? 𝑙 𝑛𝑛 比較兩端 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑘=1 𝑗?1 𝑙

64、; 𝑖𝑘 𝑙 𝑗𝑘 + 𝑙 𝑖𝑗 𝑙 𝑗𝑗 𝑙 𝑗𝑗 = 𝑎 𝑗𝑗 ? 𝑘=1 𝑗?1 w

65、897; 𝑗𝑘 2 1 2 ， 𝑖=𝑗 𝑙 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 ? 𝑘=1 𝑗?1 𝑙 𝑖𝑘 𝑙 𝑗𝑘

66、; 𝑙 𝑗𝑗 ， 𝑖>𝑗,令 𝐿 𝑇 𝑋=𝑌，則有𝐿𝑌=𝑏，于是由下述兩個(gè)三角線性方程組求得方程組𝐴𝑋=𝑏的解𝑋

67、 𝐿𝑌=𝑏 𝐿 𝑇 𝑋=𝑌計(jì)算量約為Doolittle方法的一半。,6、三對角線性方程組的追趕法設(shè)𝐴𝑋=𝑏的系數(shù)矩陣 𝐴= 𝑏 1 

68、9888; 1 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 ? ? ? 𝑎 𝑛 𝑐 𝑛?1 𝑏 𝑛 稱𝐴為三對角矩陣定理3.6 若三對角矩陣𝐴滿足

69、𝑏 1 > 𝑐 1 ， 𝑏 𝑛 > 𝑎 𝑛 𝑏 𝑖 > 𝑎 𝑖 + 𝑐 𝑖 (𝑖=2,3,?,𝑛?1),則矩陣𝐴是非奇異的。假設(shè)

70、𝐴滿足定理3.4，則𝐴可做三角分解 𝐴=𝐿𝑈其中 𝐿= 1 𝑙 2 1 ? ? 𝑙 𝑛 1 ，𝑈= 𝑢 1 𝑐 1 ⻖

71、6; 2 ? ? 𝑐 𝑛?1 𝑢 𝑛 𝑢 1 = 𝑏 1 𝑙 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑢 𝑖?1 ，(𝑖=2,3,?,𝑛) ⻖

72、6; 𝑖 = 𝑏 𝑖 ? 𝑙 𝑖 𝑐 𝑖?1 ，(𝑖=2,3,?,𝑛),于是 追： 𝑦 1 = 𝑏 1 𝑦 𝑖 = 𝑏 𝑖 ? ⻕

73、7; 𝑖 𝑦 𝑖?1 𝑖=2,3,?,𝑛 趕： 𝑥 𝑛 = 𝑦 𝑛 𝑢 𝑛 𝑥 𝑖 = 𝑦 𝑖 ? 𝑐

74、19894; 𝑥 𝑖+1 𝑢 𝑖 𝑖=𝑛?1,?,2,1,§3.3 線性方程組的性態(tài)和誤差分析例3.6 設(shè)有方程組 𝑥 1 + 𝑥 2 =2 𝑥 1 +1.0001 𝑥 2 =

75、2.0001 準(zhǔn)確解為 𝑥 1 =1， 𝑥 2 =1。假定常數(shù)項(xiàng)有微小變換，如 𝑥 1 + 𝑥 2 =2 𝑥 1 +1.0001 𝑥 2 =2 準(zhǔn)確解為 𝑥 1 =2， 𝑥 2 =0。 常數(shù)項(xiàng)微小變換，導(dǎo)致解發(fā)生很大變化。這類線性方程組稱為病態(tài)方

76、程組。,設(shè)有線性方程組𝑨𝒙=𝒃 1）方程組常數(shù)項(xiàng)有擾動𝛿𝒃 𝑨 𝒙+𝛿𝒙 =𝒃+𝛿𝒃則有 𝛿𝒙= 𝑨 ?1 x

77、575;𝒃于是 𝛿𝒙 = 𝑨 ?1 𝛿𝒃 ≤ 𝑨 ?1 𝛿𝒃 𝒃 = 𝑨𝒙 ≤ 𝑨 𝒙 → 1 𝒙 ≤ 𝑨 w

78、939; 故有 𝛿𝒙 𝒙 ≤ 𝐴 ?1 𝐴 𝛿𝒃 𝒃,上述表明常數(shù)項(xiàng)的相對誤差 𝛿𝒃 𝒃 在解中可能被放大了 𝐴 ?1 𝐴 倍。2）方程組系數(shù)矩陣有擾動

79、𝑨+𝛿𝑨 𝑨+𝛿𝑨 𝒙+𝛿𝒙 =𝒃則有 𝛿𝒙= 𝑨 ?1 𝛿𝑨 𝒙+𝛿𝒙

80、; 于是 𝛿𝒙 ≤ 𝑨 ?1 𝛿𝑨 𝒙 + 𝛿𝒙 𝛿𝒙 𝒙 ≤ 𝑨 ?1 𝛿𝑨 1? 𝑨 ?1 𝛿&

81、#119912; ≤ 𝑨 ?1 𝑨 𝛿𝑨 𝑨 𝟏? 𝑨 ?1 𝑨 𝛿𝑨 𝑨,當(dāng) 𝛿𝑨 ?1，矩陣的相對誤差在解中可能被放大了 𝐴 ?1 𝐴 倍。定義3.

82、2 稱𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑨 = 𝐀 ?1 𝐀 為矩陣𝐀的條件數(shù)。當(dāng)𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑨 ?1，則方程組時(shí)病態(tài)的；當(dāng)𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑨 較小時(shí)，則方程組是良態(tài)的