南京大學計算機科學與技術(shù)系-數(shù)值計算方法第3章1-解線性方程組的數(shù)值解法-gauss消去法

1、,第3章 解線性方程組的數(shù)值解法,引言,在自然科學和工程技術(shù)中很多問題的解決常常歸結(jié)為解線性代數(shù)方程組。例如電學中的網(wǎng)絡(luò)問題，船體數(shù)學放樣中建立三次樣條函數(shù)問題，用最小二乘法求實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，解非線性方程組問題，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問題等都導致求解線性方程組，而且后面幾種情況常常歸結(jié)為求解大型線性方程組。 線性代數(shù)方面的計算方法就是研究求解線性方程組的一些數(shù)值解法與研究計算矩陣

2、的特征值及特征向量的數(shù)值方法。,引言,關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類。直接法：經(jīng)過有限步算術(shù)運算，可求得方程組的精確解的方法（若在計算過程中沒有舍入誤差）迭代法：用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法 迭代法具有占存儲單元少，程序設(shè)計簡單，原始系數(shù)矩陣在迭代過程中不變等優(yōu)點，但存在收斂性及收斂速度等問題,3.1 高斯消元法,設(shè)線性方程組簡記 AX=b,,高斯消元法,其中,,高斯消元法,克萊姆法則在理論上有

3、著重大意義，但在實際應(yīng)用中存在很大的困難，在線性代數(shù)中，為解決這一困難給出了高斯消元法。,,例題,例1.用消元法解方程組,例題,第一步：-2 x（1）+(3)得,例題,第二步：1 x（2）+（4）回代得：x=[1,2,3]T,,3.1.1 高斯順序消元法,下三角形方程求解 設(shè) （1）,,高斯順序消元法,由（1）得,,高斯順序消元法,

4、算法：,,高斯順序消元法,,,,上三角方程組的解法設(shè),,,由（2）式回代得,,,上三角方程組的解法,高斯順序消去法,設(shè) Ax=b. 記A(1)=A b(1)=b1、第一次消元。設(shè),,,高斯順序消去法,,,高斯順序消去法,設(shè)第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中,,高斯順序消去法,則第k次消元:,,高斯順序消去法,最后,高斯順序消去法,也就是對于方程組AX=b系數(shù)矩陣做：,,高斯順序消去法,,,高斯順序消去法,,,高斯順序消

5、去法,高斯順序消去法,高斯順序消去法算法框圖,,高斯消去法的計算量,,,高斯順序消去法條件,,,3.1.2 高斯主元素消去法,Gauss列主元消元法從第一列中選出絕對值最大的元素,,,,,,交換,高斯列主元消去法,,高斯列主元消去法,第k步 從 的第k列 ， ， 中選取絕對值最大項，記錄所在行，即 若 交換第k行與l行的所有對應(yīng)元素，再進行順序消元。,,,,,框圖,高斯列主

6、元消去法,高斯列主元消去法,高斯列主元消去法,2. 全主元消去法,例如.求解方程組,,全主元消去法,,全主元消去法,,全主元消去法,全主元消去法,全主元消去法,全主元消去法,,,Gauss全主元消元算法,Gauss全主元消元算法,Gauss全主元消元算法,3.高斯-約當消去法,與一般消去法相比，高斯—約當消去法是一種無回代過程的算法設(shè)方程組AX=b經(jīng)過（k-1）次消元得,,高斯-約當消去法,,算法,選列主元的Gauss-Jordan消

7、去法,,Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法簡單,求解無回代過程,但從工作量角度看前者大約需要O( ),而后者需要量 O( ),比有回代的Guass消去法多O( )工作量.,小節(jié),比較而言,Gauss順序消去法條件苛刻,且數(shù)值不穩(wěn)定; Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比較 個元素及行列交換工作，算法復雜；對于Gauss-Jordan消去法形式上比其他消