非線性方程組若干數值方法研究及應用.pdf

1、本文主要研究了求解非線性方程組的迭代方法的構造以及本質特征的刻劃.針對Jacobian矩陣是大型稀疏非Hermitian且正定的情況，我們提出了修正Newton-HSS方法并給出了相應的收斂性分析.我們分別在Lipschitz條件下和H(o)lder條件下，建立了修正Newton-HSS方法的局部以及半局部收斂性定理.并且，我們也討論了收斂性的更強類型，我們提出了全局修正Newton-HSS算法，也給出了基礎的全局收斂性結果.另外，我們

2、研究改進收斂條件以建立更好的收斂性定理.針對已有的3階Newton型方法，求兩次導數值的修正Newton法和求兩次函數值的修正Newton法，在弱條件（γ條件）下，我們建立了這兩種方法的半局部收斂性定理.
　　線性迭代方法HSS方法是無條件收斂的，且當選用最優(yōu)的參數α時，HSS與共軛梯度法在收斂率上有相同的上界.基于HSS方法的這些優(yōu)點，Bai和Guo在文[(0)]中提出了一種求解Jacobian矩陣是大型稀疏非Hermitian

3、且正定的非線性方程組的多步迭代算法，Newton-HSS方法，即以Newton法作為外迭代求解非線性方程組，以HSS為內迭代求解Newton方程的內外迭代法.數值結果表明Newton-HSS方法不論是在CPU時間還是在迭代步數都勝過已有的多步迭代算法，Newton-GMRES方法、Newton-USOR方法以及Newton-GCG方法.在Newton-HSS方法的基礎上，我們考慮高階修正Newton法與HSS方法結合，以構造高效的多步迭

4、代算法.我們采用一種只需求兩次函數值，但具有至少3階R收斂的修正Newton法代替Newton法作為外迭代，以無條件收斂的HSS方法作為內迭代，從而構造了修正Newton-HSS方法來求解大型稀疏的非線性方程組.我們所構造的方法在迭代步數及所花費的CPU時間都勝過Bai和Guo在文[(0)]提出的Newton-HSS方法.二維對流擴散的數值例子表明,Newton-HSS方法所需用的外迭代步數大約為修正Newton-HSS方法的一倍，并且

5、Newton-HSS方法所用的CPU時間平均大約為修正Newton-HSS方法所用的CPU時間的1.5倍.此外，我們也給出了全局修正Newton-HSS算法.我們由修正Newton-HSS方法得到具有全局收斂性質的修正Newton-HSS后退方法.
　　然后針對所提出的修正Newton-HSS方法，我們給出其收斂性分析，建立比較完善的收斂理論.我們首先在導數滿足Lipschitz條件下，給出修正Newton-HSS方法的局部收斂性

6、分析.通過條件的弱化，分別在導數連續(xù)和導數滿足H(o)lder條件下，我們建立了更好的局部收斂性定理.同時，我們也給出該方法的收斂階，我們以矩陣‖T(α;x)‖的收斂階特征描述修正Newton-HSS方法的收斂階.同樣，我們也分別在Lipschitz條件下和H(o)lder條件下建立了修正Newton-HSS方法的半局部收斂性定理，根據初始點周圍的信息，給出解的判別及誤差估計.另外，合理的條件下，我們建立了基礎的全局收斂結果，即如果由迭

7、代法生成的序列有極限點，并且F'在該點可逆，則極限點為F的一個解，且迭代序列收斂到該點[(0)].
　　最后，我們研究了兩類3階Newton型方法，即計算兩次導數值的三階Newton型方法和計算兩次函數值的三階修正Newton方法，在α判據的弱條件下的半局部收斂性.α判據的弱條件是由Wang最初在[(0)]中導出.判據α不僅能用于非線性方法收斂性的判定，而且在與零點有關的大量數值過程中它都是一個刻畫現象本質的恰當不變量.將經典的K