一階微分方程

1、學(xué)習(xí)任務(wù)二 一階微分方程,微分方程的內(nèi)容相當(dāng)豐富,我們只要求大家在理解微分方程的有關(guān)概念基礎(chǔ)之上,會求解一些簡單的一階微分方程. 對于二階以及更高階的微分方程不對大家做要求. 對于有些較簡單的微分方程, 如 或 , 兩邊積分就可得出y.,1. 可分離變量的微分方程有些微分方程, 如就不能兩邊積分將y計算出來. 但這個微分方程(當(dāng)y ? 0時)可以將變量y以及dy移到等號的左邊，而

2、將將變量x以及dx移到等號的右邊，得到這時, 稱 是可分離變量的微分方程.,若一個微分方程可分離變量，在分離變量后，兩邊分別積分就可以得出微分方程的通解. 對 兩邊積分，得到即其中C為任意常數(shù). 帶一個任意常數(shù)的就是微分方程的通解.,注意 上述過程是在y ? 0時完成的. 事實上，微分方程的所有解為和y = 0.,例(可分離變量的微分方程) 求解微分方

3、程Solution (當(dāng)y ? 0時)分離變量得兩邊積分, 得,因為y = 0也是微分方程的解，而在通解中取C = 0，就得到y(tǒng) = 0. 因此，所給微分方程的所有解為其中C是任意常數(shù).例(可分離變量的微分方程) 求解微分方程(1 + x2)dy -2xydx = 0.,Solution 因為(1 + x2)dy -2xydx = 0, (當(dāng)y ? 0時)分離變量得兩邊積分, 得,因為y = 0也是微分方程的解，而在

4、y = C(1 + x2)中取C = 0，就得到y(tǒng) = 0. 因此，所給微分方程的所有解為其中C是任意常數(shù).例(可分離變量的微分方程) 求微分方程滿足初始條件 的特解.,Solution (由已知條件知y ? 0時)分離變量得ydy = -xdx. 兩邊積分, 得其中C是任意常數(shù). 整理得,將初始條件 代入12 + 12 = 2C得, 于是C = 1. 于是微分方程滿足初

5、始條件的特解為,2. 一階線性微分方程有些微分方程, 如是不能分離變量的. 但它是一階的線性微分方程, 求解的方法是“常數(shù)變易法”. 一階線性微分方程定義 形如的方程稱為一階線性微分方程, 其中P(x)和Q(x)是關(guān)于x的函數(shù).,之所以將 稱為一階“線性”微分方程，是因為方程中關(guān)于未知函數(shù)y和未知函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)都是一次的.在一階線性微分方程

6、 中, 若Q(x) = 0，即稱為一階齊次線性微分方程. 若Q(x) ? 0，即稱為一階非齊次線性微分方程. 分兩種情況討論一階線性微分方程的求解問題.,(1) 一階齊次線性微分方程一階齊次線性微分方程 是可分離變量的微分方程.(當(dāng)y ? 0時)分離變量得兩邊積分, 得{ 中不再出現(xiàn)任意常數(shù)！},(2) 一階非齊次線性微分方

7、程對于一階非齊次線性微分方程按下面兩個步驟進(jìn)行求解.第一步 求出對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解第二步(常數(shù)變易法) 將上式中的常數(shù)C變易成函數(shù)u(x), 得 代入原微分方程求出u(x)即可.,,在求解一階非齊次線性微分方程時, 最好按上述步驟一步一步做(上述方法稱為“常數(shù)變易法”), 也可以記住上述通解公式. 例(使用常數(shù)變易法求解) 求解微分方程Solution 第一步 一階非齊次線性微分方程對應(yīng)的齊

8、次線性微分方程 . (當(dāng)y ? 0時)分離變量得,兩邊積分, 得去掉對數(shù)和絕對值, 得,第二步(常數(shù)變易法) 令代入原微分方程得,整理得 , 于是因此, 通解為注意 也可以按公式直接計算得答案.,例(使用常數(shù)變易法求解) 求解微分方程Solution 第一步 一階非齊次線性微分方程對應(yīng)的齊次線性微分方程

9、(當(dāng)y ? 0時)分離變量得,兩邊積分, 得去掉對數(shù)和絕對值, 得,第二步(常數(shù)變易法) 令代入原微分方程得,整理得 , 于是因此, 通解為注意 同樣可以按公式直接計算得答案.,例(使用常數(shù)變易法求解) 求微分方程滿足初始條件 的特解.Solution 第一步 一階非齊次線性微分方程對應(yīng)的齊次線性微分方程