習(xí)題課（一）一階微分方程的解法及應(yīng)用

1、,一階微分方程的,習(xí)題課 (一),一、一階微分方程求解,二、解微分方程應(yīng)用問(wèn)題,解法及應(yīng)用,第七章,一、一階微分方程求解,1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解,關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟,2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解,變量代換法,代換因變量,代換某組合式,三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型,可分離變量方程,齊次方程,線性方程,,,代換自變量,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故為分離變量方程:,通解,(2) 這是一個(gè)齊次方程 ，,令 y = u

2、 x ,化為分離變量方程:,,方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 ,,令 y = u x ,化為分,離變量方程.,,,調(diào)換自變量與因變量的地位 ,,用線性方程通解公式求解 .,化為,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 將方程改寫為,(伯努利方程),(分離變量方程),原方程化為,,,,,令 y = u t,(齊次方程),令 t = x – 1 , 則,,可分離變量方程求解,,化方程為,例3.,設(shè)F

3、(x)＝f (x) g(x), 其中函數(shù) f (x), g(x) 在(－∞,+∞),內(nèi)滿足以下條件:,(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;,(2003考研),(2) 求出F(x) 的表達(dá)式 .,解: (1),所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:,(2) 由一階線性微分方程解的公式得,,,于是,練習(xí)題:,(題3只考慮方法及步驟),P353 題2 求以,為通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P353 題3 求下列微分

4、方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分離變量方程 :,提示: 這是一階線性方程 , 其中,P353 題1，2，3 (1), (2), (3), (4), (6), (9), (10),,提示: 可化為關(guān)于 x 的一階線性方程,提示: 為伯努利方程 , 令,提示: 可化為伯努利方程,令,公式,,提示: 為可降階方程 , 令,原方程化為,, 即,則,故原方程通解,,提示: 令,,例4. 設(shè)河邊點(diǎn) O 的正對(duì)岸為點(diǎn) A ,

5、河寬 OA = h,,一鴨子從點(diǎn) A 游向點(diǎn),二、解微分方程應(yīng)用問(wèn)題,利用共性建立微分方程 ,,利用個(gè)性確定定解條件.,為平行直線,,且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O ,,,提示: 如圖所示建立坐標(biāo)系.,設(shè)時(shí)刻t 鴨子位于點(diǎn)P (x, y) ,,設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為b,,求鴨子游動(dòng)的軌跡方程 .,O ,,水流速度大小為 a ,,兩岸,,則,關(guān)鍵問(wèn)題是正確建立數(shù)學(xué)模型,,要點(diǎn):,定解條件,由此得微分方程,即,,鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為,(

6、 自己求解 ),( 齊次方程 ),,,,思考: 能否根據(jù)草圖列方程?,,練習(xí)題:,P354 題 5 , 6,P354 題5 . 已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)( 1 , 1 ),,軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo) , 求它的方程 .,提示: 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為 M (x,y),,令 X = 0, 得截距,由題意知微分方程為,即,定解條件為,,,,,,此點(diǎn)處切線方程為,它的切線在縱,,,,,P354 題6. 已知某車間的容積為,的新鮮空氣,問(wèn)每分鐘

7、應(yīng)輸入多少才能在 30 分鐘后使車間空,的含量不超過(guò) 0.06 % ?,提示: 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入,t 時(shí)刻車間空氣中含,則在,內(nèi)車間內(nèi),兩端除以,并令,與原有空氣很快混合均勻后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,,,( 假定輸入的新鮮空氣,輸入 ,,的改變量為,t = 30 時(shí),解定解問(wèn)題,,因此每分鐘應(yīng)至少輸入 250,新鮮空氣 .,初始條件,,得,k = ?,作業(yè) P304 3 , 7;