焦半徑公式的證明

1、1焦半徑公式的證明焦半徑公式的證明【尋根尋根】橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義：到兩定點F1，F(xiàn)2（|F1F2|=2c）距離之和為定值2a（2a2c）的動點軌跡（圖形）.這里，從橢圓的“根上”找到了兩個參數(shù)c和a.第一個參數(shù)c，就確定了橢圓的位置；再加上另一個參數(shù)a，就確定了橢圓的形狀和大小.比較它們的“身份”來，c比a更“顯貴”.遺憾的是，在橢圓的方程里，卻看不到c的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有“忘本”之嫌.為了“正本”，我們

2、回到橢圓的焦點處，尋找c，并尋找關(guān)于c的“題根”.一、用橢圓方程求橢圓的焦點半徑公式用橢圓方程求橢圓的焦點半徑公式數(shù)學(xué)題的題根不等同數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，數(shù)學(xué)教學(xué)的根基是數(shù)學(xué)概念，如橢圓教學(xué)的根基是橢圓的定義.但是在具體數(shù)學(xué)解題時，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù)學(xué)定義引出來的某些已知結(jié)論（定理或公式）出發(fā)，如解答橢圓問題時，經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā).【例1】已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，F(xiàn)1（c0）和F2(c0)是橢圓的兩個焦點.求證

3、：|PF1|=a；|PF2|=a.【分析分析】可用距離公式先將|PF1|和|PF2|分別表示出來.然后利用橢圓的方程“消y”即可.【解答解答】由兩點間距離公式，可知|PF1|=(1)從橢圓方程解出(2)代（2）于（1）并化簡，得|PF1|=(a≤x≤a)1用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點P（x，y）是以F1（c0）為焦點，以l1：x=為準線的橢圓上任意一點.PD⊥l1于D.按橢圓的第二定義，則有即r1=aex同

4、理有r2=aex.對中學(xué)生來講，橢圓的這個第二定義有很大的“人為性”.準線缺乏定義的“客觀性”.因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合邏輯性.【例3】P（x，y）是以F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）為焦點，以距離之和為2a的橢圓上任意一點.直線l為x=，PD1⊥l交l于D1.求證：.【解答解答】由橢圓的焦半徑公式|PF1|=aex.對|PD1|用距離公式|PD1|=x=x.故有.【說明說明】此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點，到定點