均值不等式求最值的常用技巧及習(xí)題(含解答經(jīng)典)

1、1利用基本不等式求最值的常用技巧及練習(xí)題（含解答）（經(jīng)典）一基本不等式的常用變形1.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅0x?12xx??1x?0x?12xx???當(dāng)_____________時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)____________時(shí)取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或2.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)____________時(shí)取“=”）0?ab2??abba若，則(當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取“=”）0ab?

2、222abababbababa??????即或注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：技巧一：直接求：例1已知，且滿足，則xy的最大值為________。xyR??134xy??解：因?yàn)閤0，y0，所以(當(dāng)且僅當(dāng)，即x=

3、6，y=8時(shí)取等號(hào))，234343xyxyxy???A34xy?于是，，故xy的最大值3.13xy?3.xy??變式：若，求的最小值.并求xy的值44loglog2xy??11xy?解：∵即xy=1644loglog2xy??2log4??xy當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立21211211?????xyyxyx技巧二：配湊項(xiàng)求技巧二：配湊項(xiàng)求例2：已知，求函數(shù)的最大值。54x?14245yxx????解：，55404xx?????114254

4、34554yxxxx?????????????????231????當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。15454xx???1x?1x?max1y?例3.當(dāng)時(shí)，求的最大值。(82)yxx??3變式：（1）若且，求的最小值??Ryx12??yxyx11?(2)已知且，求的最小值??Ryxba1??ybxayx?2：已知，且，求的最小值。00xy??191xy??xy?(3)設(shè)若的最小值為（）00.ab??11333abab?是與的等比

5、中項(xiàng)，則A8B4C1D14解析：解析：因?yàn)?，所以?33??ba1??ba又所以，當(dāng)且僅00ab??4222)11)((11???????????baabbaabbababa當(dāng)即時(shí)取“=”。故選（Ｂ）baab?21??ba技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。()afxxx??2254xyx???解

6、：令，則24(2)xtt???2254xyx???22114(2)4xtttx???????因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。101ttt???1tt?1t????2??因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故1ytt????1????2??。52y?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?2????????練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.（1）（2）(3)231(0)xxyxx????1233yxxx???