選修數(shù)學(xué)橢圓綜合知識(shí)點(diǎn)+大量例題

1、橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)▓橢圓的范圍橢圓的范圍橢圓上的點(diǎn)都位于直線橢圓上的點(diǎn)都位于直線x=ax=a和y=by=b圍成的矩形內(nèi)，所以坐標(biāo)滿足圍成的矩形內(nèi)，所以坐標(biāo)滿足|x|≤a|x|≤a，|y|≤b.|y|≤b.▓橢圓的離心率橢圓的離心率①橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作表示，記作。②因?yàn)橐驗(yàn)?2cceaa??a＞c＞0，所以，所以e的取值范圍是的取值范圍是0＜e＜1。e越接

2、近越接近1，則，則c就越接近就越接近a，從而，從而越小，因此橢圓越扁；越小，因此橢圓越扁；22bac??反之，反之，e越接近于越接近于0，c就越接近就越接近0，從而，從而b越接近于越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，時(shí)，c=0c=0，這時(shí)兩，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2yy2=a=a2。▓橢圓橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（的圖象中線

3、段的幾何特征（如下圖）：（1），，12222??byax122PFPFa??1212||||||||PFPFePMPM??；（；（2），，；（；（3）2122||||aPMPMc??12BFBFa??12OFOFc??2221ABABab???，；1122AFAFac???1221AFAFac???caPFca????1▓橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c

4、三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：為：a＞b＞0，a＞c＞0，且，且a2=b=b2cc2。▓橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的

5、方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。▓平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)M（xyxy），若點(diǎn)，若點(diǎn)M（xyxy）在橢圓上，則有）在橢圓上，則有；若點(diǎn)；若點(diǎn)M（

6、xyxy）在橢圓內(nèi)，則）在橢圓內(nèi)，則22221xyab??(0)ab??有；若點(diǎn)；若點(diǎn)M（xyxy）在橢圓外，則有）在橢圓外，則有22221xyab??(0)ab??22221xyab??.(0)ab??▓直線與橢圓的相交弦直線與橢圓的相交弦設(shè)直線設(shè)直線交橢圓交橢圓于點(diǎn)于點(diǎn)兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)，則ykxb??22221xyab??(0)ab??111222()()PxyPxy==同理可得同理可得22121212||()()PPxxyy????2

7、2121212()[1()]yyxxxx????2121||kxx??這里這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：121221||1||(0)PPyykk????12||xx?12||yy?2121212||()4xxxxxx????2121212||()4yyyyyy????▓例1.1.已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一

8、個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，且，且，求橢圓的方程。，求橢圓的方程。2cos3OFA??________?！窘馕鼋馕觥扛鶕?jù)題意，根據(jù)題意，|AB|AB2|=a|=a2bb2，|BF|=a|BF|=a，|AF|=ac|AF|=ac，所以在，所以在Rt△ABFRt△ABF中，有中，有(ac)(ac)2=a=a2bb2aa2，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得c2ac―aac―a2=0=0，等式兩邊同除以，等式兩邊同除以a2，得，得e2

9、e―1=0e―1=0，解得，解得。又。又∵0∵0＜e＜1，∴。152e???512e??▓例4已知橢圓已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使，使，求其離，求其離22221(0)xyabab????1223FPF???心率心率的取值范圍。的取值范圍。e【解析解析】△F】△F1PFPF2中，已知中，已知，|F|F1F2|=2c|=2c，|PF|PF1||PF||PF2|=2a|=2a，由余弦定理：

10、，由余弦定理：4c4c2=|PF=|PF1|2|PF|PF2|21223FPF???2|PF2|PF1||PF||PF2|cos120①|(zhì)cos120①又|PF|PF1||PF||PF2|=2a|=2a②聯(lián)立聯(lián)立①②得4c4c2=4a=4a2|PF|PF1||PF||PF2|，∴2212|PF||PF|4a4c??2222222122a|PF||PF|()a4a4ca3a4c02????????c33e1a22?????▓【變式變式】已

11、知橢圓已知橢圓，以，以，，為系數(shù)的關(guān)于為系數(shù)的關(guān)于的方程的方程無(wú)實(shí)根，求其無(wú)實(shí)根，求其22221(0)xyabab????abcx20axbxc???離心率離心率的取值范圍。的取值范圍。e【答案答案】由已知，由已知，，所以，所以，即，即，不等式兩邊同除，不等式兩邊同除可得可得240bac????22()40acac???2240caca???2a，解不等式得，解不等式得或.由橢圓的離心率由橢圓的離心率，所以所求橢圓離心率，所以所求橢圓離

12、心率2410ee???52e???52e??(01)e?.(521)e??▓例6.6.已知橢圓已知橢圓，求過(guò)點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)且被且被平分的弦所在的直線方程平分的弦所在的直線方程1222??yx??????2121，PP【解析解析】解法一：設(shè)所求直線的斜率為解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得代入橢圓方程，并整理得k?????????2121xky由韋達(dá)定理得由韋達(dá)定理得∵是弦中點(diǎn)，是弦中點(diǎn)，????02