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文檔簡介
1、第一章向量代數(shù)習(xí)題1.11.試證向量加法的結(jié)合律,即對任意向量成立abc()().abcabc?????證明:作向量(如下圖),????????????ABaBCbCDc???ABCDabcab?bc?則()()????????????????????????abcABBCCDACCDAD????????()()????????????????????????abcABBCCDABBDAD????????故()().abcabc????
2、?2.設(shè)兩兩不共線,試證順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件abc是0.abc???證明:必要性,設(shè)的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形,abcABC?ABCabc則0.????????????????????????abcABBCCAACCAAA?????????充分性,作向量,由于????????????ABaBCbCDc???所以點(diǎn)與重合,即三向量0????????????????????????abcABBCCDACCD
3、AD?????????AD111(1)()().222????????????????????????FEABABABABDC????????故梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長度和的一半。5.試證命題1.1.2。證明:必要性,設(shè)共面,如果其中有兩個(gè)是共線的,比如是,則線性abcabab相關(guān),從而線性相關(guān)?,F(xiàn)在設(shè)兩兩不共線,則向量可以在兩個(gè)向量上abcabccab的進(jìn)行分解,即作以為對角線,鄰邊平行于的平行四邊形,則存在實(shí)數(shù)使得
4、cab??,因而線性相關(guān)。cab????abc充分性,設(shè)線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),使得abc123kkk。不妨設(shè),則向量可以表示為向量的線性組合,因此由1230kakbkc???30k?cab向量加法的平行四邊形法則知道向量平行于由向量決定的平面,故共面。cababc6.設(shè)是不共線的三點(diǎn),它們決定一平面,則點(diǎn)在上的充要條件是存在ABC?P?唯一的數(shù)組使得()???()1????????????????OPOAOBOC????????
5、?????????其中,是任意一點(diǎn)。在內(nèi)的充要條件是()與同時(shí)成立。OPABC?000??????證明:必要性,作如下示意圖,連接并延長交直線于。APBCRABCP則由三點(diǎn)共線,存在唯一的數(shù)組使得,并且BRC12kk12kOBkOC??????????????。由三點(diǎn)共線,存在唯一的數(shù)組使得,并且121kk??APR12ll12OPlOAl??????????????。于是,設(shè)121ll??1212122OPlOAllOAlkOBlkO
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