競賽數(shù)學數(shù)論專題

1、數(shù)論數(shù)論數(shù)論素有“數(shù)學皇后”的美稱。由于其形式簡單，意義明確，所用知識不多而又富于技巧性，千姿百態(tài)，靈活多樣。有人曾說：“用以發(fā)現(xiàn)數(shù)學天才，在初等數(shù)學中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。”因此在理念的國內(nèi)外數(shù)學競賽中，幾乎都離不開數(shù)論問題，使之成為競賽數(shù)學的一大重要內(nèi)容。1.基本內(nèi)容基本內(nèi)容競賽數(shù)學中的數(shù)論問題主要有：（1）整除性問題；（2）數(shù)性的判斷（如奇偶性、互質(zhì)性、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、完全平方數(shù)等）；（3）余數(shù)問題；（4）整數(shù)的分解與分拆；（5

2、）不定方程問題；（6）與高斯函數(shù)有關的問題。[]x有關的基本知識：關于奇數(shù)和偶數(shù)有如下性質(zhì)：奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù).兩個數(shù)之和是奇（偶）數(shù)，則這兩個數(shù)的奇偶性相反（同）.若干個整數(shù)之和為奇數(shù)，則這些數(shù)中必有奇數(shù)，且奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個；若干個整數(shù)之和為偶數(shù)，則這些數(shù)中若有奇數(shù)，奇數(shù)的個數(shù)必為偶數(shù)個.奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù).AAA若干個整數(shù)之積為奇數(shù)，則這些數(shù)必為奇數(shù)；若干個整數(shù)之積為偶數(shù)，則

3、這些數(shù)中至少有一個偶數(shù).若是整數(shù)，則與有相同的奇偶性；若、是整數(shù)，則與奇偶性aaaabab?ab?相同。關于整數(shù)的整除性：設是整數(shù)，則；若，則；若，則對任意整數(shù)abc○1aa○2abbcac○3abbc，有.mnabmcn?421221221422101101101==101101101kkkna????????A（）（）（）所以為合數(shù)。na評析：評析：對分奇偶，分情況討論，問題變得清晰易證。同時注意，n若為奇數(shù)時，可分解因式。nnnx

4、y?例2證明對任意整數(shù)，不是素數(shù)。1n?44nn?證明：證明：當為偶數(shù)時，為偶數(shù)，所以為合數(shù)；n44nn?44nn?當為奇數(shù)，設，則n21nk??4421444=44(2)nkknnn?????A422422222222222=4(2)4(2)4(2)[2(2)]4(2)[2(2)22][2(2)22]kkkkkkkkknnnnnnnnn?????????????AA所以為合數(shù)。44nn?評析：評析：對適時地進行奇偶性討論，不失為一種證