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1、第三章第三章不等式不等式3.13.1、不等關(guān)系與不等式、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)①(對(duì)稱性)abba???②(傳遞性)abbcac????③(可加性)abacbc?????(同向可加同向可加性)dbcadcba??????(異向可減異向可減性)dbcadcba??????④(可積性)bcaccba????0bcaccba????0⑤(同向正數(shù)同向正數(shù)可乘性)00abcdacbd??????(異向正數(shù)異向正數(shù)可除性)00aba
2、bcdcd??????⑥(平方法則)0(1)nnababnNn??????且⑦(開方法則)0(1)nnababnNn??????且⑧(倒數(shù)法則)babababa110110????????2、幾個(gè)重要不等式①(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)).變形公式:??222abababR???,ab?““?22.2abab??②(基本不等式)(基本不等式)(當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào))時(shí)取到等號(hào)).2abab????abR??,ab?變形公式:(也可用柯西不等
3、式2abab??2.2abab????????)22222()()()abcdacbd????用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個(gè)條件“一正、二一正、二定、三相等定、三相等”.③(三個(gè)正數(shù)的算術(shù)(三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式)幾何平均不等式)(當(dāng)且僅當(dāng)33abcabc???()abcR??、、時(shí)取到等號(hào)).abc??④??222abcabbccaabR??????,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)).abc??⑤3333
4、(000)abcabcabc??????⑥一般形式的柯西不等式:2222221212(...)(...)nnaaabbb??????21122(...).nnababab????⑦向量形式的柯西不等式:設(shè)是兩個(gè)向量,則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量,或存在實(shí)數(shù),使???????????????????????k時(shí),等號(hào)成立.k???????⑧排序不等式(排序原理):設(shè)為兩組實(shí)數(shù).1212......nnaaabbb??????是的任一排列,則12..
5、.nccc12...nbbb12111122......nnnnnabababacacac????????(反序和反序和亂序和亂序和順序和順序和)1122....nnababab??????當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),反序和等于順序和.12...naaa???12...nbbb???⑨琴生不等式:(特例:凸函數(shù)、凹函數(shù))若定義在某區(qū)間上的函數(shù)對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有()fx1212()xxxx?12121212()()()()()().2222xxfx
6、fxxxfxfxff??????或則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有:比較法(作差,作商法)比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法:①舍去或加上一些項(xiàng),如22131()()242aa????②將分子或分母放大(縮?。?,如211(1)kkk??211(1)kkk??2212()21kkkkkk?????
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