第二章 變分原理

1、第二章變分原理變分原理是力學(xué)分析中重要數(shù)學(xué)工具之一，能量法、有限元法、加權(quán)殘值法等力學(xué)方法都是以變分原理為數(shù)學(xué)工具的。變分法的早期思想是JohannBernoulli在1696年以公開信的方式提出最速降線命題，并在1697年進(jìn)行了解決。關(guān)于變分法的一般理論是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我們稱之為EulerLagrange變分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利學(xué)者Castig

2、提出了最小功原理。德國學(xué)者Hellinger于1914年發(fā)表了有關(guān)不完全廣義變分原理，后來美國學(xué)者Reissner發(fā)表了與Hellinger相類似的工作，此工作被稱之為HellingerReissner變分原理。我國學(xué)者錢令希于1950年發(fā)表“余能原理”論文。我國學(xué)者胡海昌于1954年發(fā)表了有關(guān)廣義變分原理的論文，日本學(xué)者鷲津久一郎(Washizu)于1955年發(fā)表了與有胡海昌相類似的工作，此工作被稱之為胡鷲變分原理。1956年Biot

3、建立了熱彈性力學(xué)變分原理。1964年錢偉長提出用Lagranger乘子構(gòu)造廣義分原理的方法。1964年Gurtin提出了線彈性動力學(xué)變分原理。1967年意大利學(xué)者Tonti提出了四類變量的廣義變分原理，在這類變分原理中，位移、應(yīng)變、應(yīng)力及Beltrami應(yīng)力函數(shù)都是變分變量。2.1歷史上著名的變分法命題歷史上有三個著名的變分法命題，即最速降線問題、短程線線問題和等周問題。這三個命題的提出和解決推動了變分法的發(fā)展。1、最速降線命題1695

4、年，Bernoulli以公開信方式提出了最速降線命題。如圖21所示，設(shè)有不在同一垂線上的A、B兩點，在此兩點間連一曲線，有一重物沿此曲線下滑，忽略各種阻力的理想情況，什么曲線能使重物沿曲線AB光滑下滑的時間最短。設(shè)A點與坐標(biāo)原點O重合，B點的坐標(biāo)為(x1y1)，滑體質(zhì)量為m，從O點下滑至P點時的速度為v，根據(jù)能量恒原理，有：(21)221mvmgy?用s表示弧長，則沿弧切向方向的速度為：圖21最速降線圖(22)gydtdsv2??曲線弧

5、長為：(23)dxdxdydydxds2221??????????于是，時間為：(24)??dxgyyvdsdt212???2.2泛函的概念泛函的概念在函數(shù)論中，自變量對應(yīng)著另一變量，則變量稱為自變量的函數(shù)。假如xyyx()yx自變函數(shù)對應(yīng)著另一個函數(shù)，則稱為泛函。函數(shù)是變量與變量之()yx??()yx???()yx?間的關(guān)系，泛函是變量與函數(shù)之間的關(guān)系。泛函是函數(shù)的函數(shù)，是函數(shù)的廣義函數(shù)。通過微分學(xué)和變分學(xué)對比，可理解變分特性。2.2

6、.1微分和變分微分和變分函數(shù)的自變量的增量是=，當(dāng)是獨立變量時，的微分等于的()yxxx?x?x1xxxx增量，即；泛函的自變函數(shù)c的增量在它很小時稱為變分，用或dxx????()yx?()yx?簡單地用表示。變分等于與跟它相接近、并通過邊界的另一個函數(shù)之差，y?y?()yx1()yx即=。特別指出的是，變分不是常值，而是通過邊界條件的函數(shù)。()yx?()yx1()yx()yx?兩個自變函數(shù)相接近的意義可有不同的理解，最簡單的理解是在任

7、意值上和x()yx之差很小，即：1()yx(211)()yx1()yx??這種接近稱零階接近度，如圖23所示。很明顯，這時之差不一定是微量。1()()yxyx?如果滿足零階接近，同時滿足自變函數(shù)的斜率也很接近，即：(212)11()()()()yxyxyxyx???????????這種接近稱一階接近度，如圖24所示。圖23零階接近度圖24一階接近度依次類推，階接近度要求零階至階導(dǎo)數(shù)之差都很小。kk(214)1111122211()()(