洛必達公式

1、洛必達公式泰勒公式柯西中值定理羅爾定理洛必達法則洛必達法則(LHospital法則)，是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。設(shè)(1)當x→a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)及F(x)都存在且F(x)≠0；(3)當x→a時limf(x)F(x)存在(或為無窮大)，那么x→a時limf(x)F(x)=limf(x)F(x)。再設(shè)(1)當x→∞時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；

2、(2)當|x|N時f(x)及F(x)都存在，且F(x)≠0；(3)當x→∞時limf(x)F(x)存在(或為無窮大)，那么x→∞時limf(x)F(x)=limf(x)F(x)。利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足00或∞∞型未定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解

3、。②若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.泰勒公式（Taylsfmula）泰勒中值定理：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于（xx.)多項式和一個余項的和：f(x)=f(x.)f(x

4、.)(xx.)f(x.)2!(xx.)^2f(x.)3!(xx.)^3……f(n)(x.)n!(xx.)^nRn其中Rn=f(n1)(ξ)(n1)!(xx.)^(n1)這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數(shù)，不是f(n)與x.的相乘。）證明我們知道f(x)=f(x.)f(x.)(xx.)α（根據(jù)拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有l(wèi)imΔx→0f(x.Δx)f(x.)=f(x.)Δ

5、x），其中誤差α是在limΔx→0即limx→x.的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確；于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：P(x)=A0A1(xx.)A2(xx.)^2……An(xx.)^n來近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)P(x)的具體表達式。設(shè)函數(shù)P(x)滿足P(x.)=f(x.)P(x.)=f(x.)P(x.)=f(x.)……P(n)(x.)=f(n)(x.)于是可以依次求出A0、A1、

6、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0所以A0=f(x.)；P(x.)=A1A1=f(x.)；P(x.)=2!A2A2=f(x.)2!……P(n)(x.)=n!AnAn=f(n)(x.)n!。至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：P(x)=f(x.)f(x.)(xx.)f(x.)2!(xx.)^2……f(n)(x.)n!(xx.)^n.接下來就要求誤差的具體表達式了。設(shè)Rn(x)=f(x)P(x)于是有Rn(x.)=f(x.)P(x.)=

7、0。所以可以得出Rn(x.)=Rn(x.)=Rn(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據(jù)柯西中值定理可得Rn(x)(xx.)^(n1)=（Rn(x)Rn(x.)）（(xx.)^(n1)0）=Rn(ξ1)(n1)(ξ1x.)^n(注：(x.x.)^(n1)=0)這里ξ1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得（Rn(ξ1)Rn(x.)）（(n1)(ξ1x.)^n0）=Rn(ξ2)n(n1)(ξ2x.)^(n1)這里ξ2在ξ1與x.之間；

8、連續(xù)使用n1次后得出Rn(x)(xx.)^(n1)=Rn(n1)(ξ)(n1)!，這里ξ在x.和x之間。但Rn(n1)(x)=f(n1)(x)P(n1)(x)由于P(n)(x)=n!Ann!An是一個常數(shù)，故P(n1)(x)=0，于是得Rn(n1)(x)=f(n1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n1)(ξ)(n1)!(xx.)^(n1)。一般來說展開函數(shù)時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。以

9、后我們干脆就把簡記為(例):數(shù)列148762...的差分數(shù)列為34118...注:我們說「數(shù)列」是「定義在離散點上的函數(shù)」如果在高中這樣的說法就很惡劣.但在此地卻很恰當因為這樣才跟連續(xù)型的函數(shù)具有完全平行的類推.差分算子的性質(zhì)(i)[合稱線性](ii)(常數(shù))[差分方程根本定理](iii)其中而(n(k)叫做排列數(shù)列.(iv)叫做自然等比數(shù)列.(iv)一般的指數(shù)數(shù)列(幾何數(shù)列)rn之差分數(shù)列(即「導函數(shù)」)為rn(r1)(乙).和分給一

10、個數(shù)列(un).和分的問題就是要算和.怎么算呢我們有下面重要的結(jié)果:定理1(差和分根本定理)如果我們能夠找到一個數(shù)列(vn)使得則和分也具有線性的性質(zhì):甲)微分給一個函數(shù)f若牛頓商(或差分商)的極限存在則我們就稱此極限值為f為點x0的導數(shù)記為f(x0)或Df(x)亦即若f在定義區(qū)域上每一點導數(shù)都存在則稱f為可導微函數(shù).我們稱為f的導函數(shù)而叫做微分算子.微分算子的性質(zhì):(i)[合稱線性](ii)(常數(shù))[差分方程根本定理](iii)Dxn

11、=nxn1(iv)Dex=ex(iv)一般的指數(shù)數(shù)列ax之導函數(shù)為(乙)積分.設(shè)f為定義在[ab]上的函數(shù)積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對[ab]作分割:其次對每一小段[xi1xi]取一個樣本點再求近似和最后再取極限(讓每一小段的長度都趨近于0).若這個極限值存在我們就記為的幾何意義就是陰影的面積.(事實上連續(xù)性也「差不多」是積分存在的必要條件.)積分算子也具有線性的性質(zhì):定理2若f為一連續(xù)函數(shù)則存在.(事實上連續(xù)性也「差不

12、多」是積分存在的必要條件.)定理3(微積分根本定理)設(shè)f為定義在閉區(qū)間[ab]上的連續(xù)函數(shù)我們欲求積分如果我們可以找到另一個函數(shù)g使得g=f則注:(1)(2)兩式雖是類推但有一點點差異即和分的上限要很小心!上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分微分與積分是兩個互逆的操作就好像加法與減法乘法與除法是互逆的操作一樣.我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了而上面定理1及定理3告訴我們要計算(un)的和分及f的積分只要去找另一個(v