2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、1圓錐曲線中的最值問題圓錐曲線中的最值問題一、圓錐曲線定義、性質(zhì)一、圓錐曲線定義、性質(zhì)1.(文)已知F是橢圓+=1的一個焦點,AB為過其中心的一條弦,則△ABF的面積最大值為()x225y29A6B15C20D12[答案]D[解析]S=|OF||y1-y2|≤|OF|2b=12.12122、若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為()A1B.C2D222解析:設(shè)橢圓+=1(ab0),則使三角形面積最

2、大時,三角形在橢圓上的頂點為橢圓x2a2y2b2短軸端點,∴S=2cb=bc=1≤=.∴a2≥2.∴a≥.∴長軸長2a≥2,故選D.12b2+c22a22223、(文)(2011山東省臨沂市質(zhì)檢)設(shè)P是橢圓+=1上一點,M、N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的x225y29點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為()A912B811C812D1012解析:由已知條件可知兩圓的圓心恰是橢圓的左、右焦點,且

3、|PF1|+|PF2|=10,∴(|PM|+|PN|)min=10-2=8,(|PM|+|PN|)max=10+2=12,故選C.點評:∵圓外一點P到圓上所有點中距離的最大值為|PC|+r,最小值為|PC|-r,其中C為圓心,r為半徑,故只要連接橢圓上的點P與兩圓心M、N,直線PM、PN與兩圓各交于兩點處取得最值,最大值為|PM|+|PN|+兩圓半徑和,最小值為|PM|+|PN|-兩圓半徑和4、(2010福州市質(zhì)檢)已知P為拋物線y2=

4、4x上一個動點,Q為圓x2+(y-4)2=1上一個動點,那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()A5B8C.-1D.+2175[答案]C[解析]拋物線y2=4x的焦點為F(10),圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(04),設(shè)點P到拋物線的準(zhǔn)線距離為d,根據(jù)拋物線的定義有d=|PF|,∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1=-1.175、已知點F是雙曲線-=1的左焦點,定點A的

5、坐標(biāo)為(14),P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|的最小值為x24y212________解析如圖所示,根據(jù)雙曲線定義|PF|-|PF′|=4,即|PF|-4=|PF′|.又|PA|+|PF′|≥|AF′|=5,將|PF|-4=|PF′|代入,得|PA|+|PF|-4≥5,即|PA|+|PF|≥9,等號當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F(xiàn)′三點共線,即P為圖中的點P0時成立,故|PF|+|PA|的最小值為9.故填9.答案96、已知直線1:436

6、0lxy???和直線2:1lx??,拋物線24yx?上一動點P到直線1l和直線2l的距離之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716【解析1】直線2:1lx??為拋物線24yx?的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知,P到2l的距離等于P到拋物線的焦點)01(F的距離,故本題化為在拋物線24yx?上找一個點P使得P到點)01(F和直線2l的距離之和3設(shè)點M的坐標(biāo)是(m0),則M到直線AP的距離是,于是=|m-6|,|m+6|2|m+6|2又-

7、6≤m≤6,解得:m=2∵橢圓上的點(x,y)到點M的距離是d,∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15,594992由于-6≤x≤6,所以當(dāng)x=時d取最小值.92155(文)已知點A(20)、B(40),動點P在拋物線y2=-4x上運動,則取得最小值時的點P的坐標(biāo)是______AP→BP→[答案](00)[解析]設(shè)P,則(-y24,y)=,=,=+y2=+y2+8≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時取等號,此時點P的

8、AP→(-y24-2,y)BP→(-y24-4,y)AP→BP→(-y24-2)(-y24-4)y41652坐標(biāo)為(00)6、如圖,已知拋物線2:Eyx?與圓222:(4)(0)Mxyrr????相交于A、B、C、D四個點。(Ⅰ)求r的取值范圍(Ⅱ)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時,求對角線AC、BD的交點P的坐標(biāo)。解:解:(Ⅰ)將拋物線2:Eyx?代入圓222:(4)(0)Mxyrr????的方程,消去2y,整理得227160xxr???

9、?拋物線2:Eyx?與圓222:(4)(0)Mxyrr????相交于A、B、C、D四個點的充要條件是:方程(1)有兩個不相等的正根∴???????????????016070)16(449221212rxxxxr即???????????442525rrr或。解這個方程組得425??r15(4)2r?.(II)設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為11()Axx、11()Bxx?、22()Cxx?、22()Dxx。則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有21212716

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