高等數(shù)學教案ch 8.3 全微分及其應(yīng)用

1、第1頁共5頁8.38.3全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用一、全微分的定義一、全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系??有偏增量與偏微分?f(x??x?y)?f(x?y)?fx(x?y)?x?f(x??x?y)?f(x?y)為函數(shù)對x的偏增量?fx(x?y)?x為函數(shù)對x的偏微分?f(x?y??y)?f(x?y)?fy(x?y)?y??f(x?y??y)?f(x?y)為函數(shù))對y的偏增量?fy(x?y)?y為函數(shù)對y的偏微分?全增量

2、??z?f(x??x?y??y)?f(x?y)?計算全增量比較復(fù)雜?我們希望用?x、?y的線性函數(shù)來近似代替之?定義定義如果函數(shù)z?f(x?y)在點(x?y)的全增量?z?f(x??x?y??y)?f(x?y)可表示為?))()(()(22yxoyBxAz????????????其中A、B不依賴于?x、?y而僅與x、y有關(guān)?則稱函數(shù)z?f(x?y)在點(x?y)可微分?而稱A?x?B?y為函數(shù)z?f(x?y)在點(x?y)的全微分?記作

3、dz?即dz?A?x?B?y?如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分?那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分?可微與連續(xù)?可微必連續(xù)?但偏導數(shù)存在不一定連續(xù)?這是因為??如果z?f(x?y)在點(x?y)可微??則?z?f(x??x?y??y)?f(x?y)?A?x?B?y?o(?)?于是?0lim0???z?從而??)(])([lim)(lim0)00()(yxfzyxfyyxxfyx?????????????因此函數(shù)z?f(x?y)在點(x?y)處連續(xù)

4、??可微條件?定理定理1(必要條件必要條件)如果函數(shù)z?f(x?y)在點(x?y)可微分?則函數(shù)在該點的偏導數(shù)、必定存在?xz??yz??且函數(shù)z?f(x?y)在點(x?y)的全微分為?yyzxxzdz????????證設(shè)函數(shù)z?f(x?y)在點P(x?y)可微分?于是?對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P?(x??x?y??y)?有?z?A?x?B?y?o(?)?特別當?y?0時有第3頁共5頁二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱

5、為二元函數(shù)的微分符合疊加原理?疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)?例如函數(shù)u?f(x?y?z)的全微分為?dzzudyyudxxudu?????????例1計算函數(shù)z?x2y?y2的全微分?解因為??xyxz2???yxyz22????所以dz?2xydx?(x2?2y)dy?例2計算函數(shù)z?exy在點(2?1)處的全微分?解因為??xyyexz???xyxeyz??????212exzyx?????2122eyzyx?????所以dz?e

6、2dx?2e2dy?例3計算函數(shù)的全微分?yzeyxu???2sin解因為???1???xuyzzeyyu????2cos21yzyezu???所以?dzyedyzeydxduyzyz????)2cos21(二、全微分在近似計算中的應(yīng)用二、全微分在近似計算中的應(yīng)用當二元函數(shù)z?f(x?y)在點P(x?y)的兩個偏導數(shù)fx(x?y)?fy(x?y)連續(xù)?并且|?x|?|?y|都較小時?有近似等式?z?dz?fx(x?y)?x?fy(x?y

7、)?y?即f(x??x?y??y)?f(x?y)?fx(x?y)?x?fy(x?y)?y?我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算?例4有一圓柱體?受壓后發(fā)生形變?它的半徑由20cm增大到20?05cm?高度由100cu減少到99cm?求此圓柱體體積變化的近似值?解設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V?則有V??r2h?已知r?20?h?100??r?0?05??h??1?根據(jù)近似公式?有?V?dV?Vr?r?Vh?h?2?rh