函數(shù)極限存在的條件

1、33函數(shù)極限存在的條件函數(shù)極限存在的條件重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)1.歸結(jié)原則也稱為海涅定理它的意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理從而我們可以利用歸結(jié)原則和數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)來證明上一節(jié)中所述的函數(shù)極限所有性質(zhì).2.單調(diào)有界定理是判定極限是否存在的一個(gè)重要原則同時(shí)也是求極限的一個(gè)有用的方法.一般情形運(yùn)用單調(diào)有界定理研究變量極限時(shí)需要首先利用單調(diào)收斂定理判定極限的存在性然后在運(yùn)用運(yùn)算法則求這個(gè)極限.3.柯西準(zhǔn)則是函數(shù)極限存在的充要條件.函數(shù)

2、極限的柯西準(zhǔn)則是以數(shù)列的柯西準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的.該準(zhǔn)則在數(shù)列極限、極限和廣義積分理論中占據(jù)了重要的地位.因此應(yīng)當(dāng)認(rèn)真理解柯西準(zhǔn)則并能用柯西準(zhǔn)則討論某些比較簡(jiǎn)單的問題.基本內(nèi)容基本內(nèi)容在討論數(shù)列極限存在條件時(shí)，我們?cè)虼蠹医榻B過判別數(shù)列極限存在的“單調(diào)有界定理”和“柯西收斂準(zhǔn)則”.我們說數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對(duì)于函數(shù)是否也有類似的結(jié)果呢？或者說能否從函數(shù)值的變化趨勢(shì)來判斷其極限的存在性呢？本節(jié)的結(jié)論只對(duì)這種類型的函數(shù)極限進(jìn)行論述，但其結(jié)論對(duì)其它

3、類型的函數(shù)0xx?極限也是成立的。首先介紹一個(gè)很主要的結(jié)果——海涅(Heine)定理（歸結(jié)原則）。一、歸結(jié)原則一、歸結(jié)原則定理定理3.8(3.8(歸結(jié)原則歸結(jié)原則)設(shè)在內(nèi)有定義.存在的充要條件是:對(duì)f????00xU??xfxx0lim?任何含于且以為極限的數(shù)列極限都存在且相等.????00xU0x??nx??nnxf??lim分析分析充分性的證法:只須證明若對(duì)任意數(shù)列且有??nx0limxxnn???0xxn?則.因?yàn)樵谝阎獥l件中具有

4、這種性質(zhì)的數(shù)列是任意的??Axfnn???lim??Axfxx??0lim??nx(當(dāng)然有無限多個(gè))所以從已知條件出發(fā)直接證明其結(jié)論是困難的.這時(shí)可以考慮應(yīng)用反證法.也就是否定結(jié)論假設(shè)根據(jù)極限定義的否定敘述只要能構(gòu)造某一個(gè)數(shù)列??Axfxx??0lim但是與已知條件相矛盾.于是充分性得到證明.nx0limxxnn???0xxn???Axfnn???lim注1歸結(jié)原則也可簡(jiǎn)述為對(duì)任何有?????Axfxx0lim?????nxxn0??.

5、limAxfnn???注2雖然數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的但是兩者是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁.它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限反之亦然.在極限論中海涅定理處于重要地位.有了海涅定理之后有關(guān)函數(shù)極限的定理都可借助已知相應(yīng)的數(shù)列定理定理3.103.10設(shè)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)則右極限存在.f)(00xU?)(lim0xfxx??注6(

6、1)設(shè)為定義在上的有界函數(shù).若遞增則若f)(00xU?f)(inf)0()(000xfxfxUx????遞減則.f)(sup)0()(000xfxfxUx????(2)設(shè)為定義在上的遞增函數(shù)則f)(00xU.)(sup)0()(000xfxfxUx????)(inf)0()(000xfxfxUx????三函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則定理定理3.11(3.11(柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則)設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.存在的充要條件是：f)(0

7、?xU?)(lim0xfxx?任給存在正數(shù)使得對(duì)任何有.0??)(???)(0?xUxx?????????)()(xfxf[分析分析]充分性的證明可以利用數(shù)列極限的柯西準(zhǔn)則和函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁——海涅定理來證.分兩步：1)對(duì)任何以為極限的數(shù)列數(shù)列的0x??)(0?xUxn????)(nxf極限都存在2)證明對(duì)任何以為極限的數(shù)列數(shù)列的極限都相0x??)(0?xUxn????)(nxf等.注7可以利用柯西準(zhǔn)則證明函數(shù)極限的不存在:)(

8、lim0xfxx?設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.不存在的充要條件是：存在對(duì)f)(0?xU?)(lim0xfxx?00??任意正數(shù)存在有.)(???)(0?xUxx????0)()(?????xfxf如在例1中我們可取對(duì)任何設(shè)正整數(shù)令210??0???1?n211????????nxnx則有而于是按柯西準(zhǔn)則極限不存在.)0(??Uxx???011sin1sin??????xxxx1sinlim0?小結(jié)小結(jié)1.證明函數(shù)極限存在或求函數(shù)極限的方法.(1)