孫應(yīng)飛 隨機(jī)過程講義 第一章

1、菁英班_隨機(jī)過程講稿作者孫應(yīng)飛第一章第一章隨機(jī)過程及其分類隨機(jī)過程及其分類在概率論中，我們研究了隨機(jī)變量，在概率論中，我們研究了隨機(jī)變量，維隨機(jī)向量。在極限定理中我們研維隨機(jī)向量。在極限定理中我們研n究了無窮多個(gè)隨機(jī)變量，但只局限在它們之間相互獨(dú)立的情形。將上述情形加究了無窮多個(gè)隨機(jī)變量，但只局限在它們之間相互獨(dú)立的情形。將上述情形加以推廣，即研究一族無窮多個(gè)、相互有關(guān)的隨機(jī)變量，這就是隨機(jī)過程。以推廣，即研究一族無窮多個(gè)、相互有關(guān)的隨

2、機(jī)變量，這就是隨機(jī)過程。1隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念定義：設(shè)定義：設(shè)是一概率空間，對每一個(gè)參數(shù)是一概率空間，對每一個(gè)參數(shù)，是一定義是一定義)(P??Tt?)(?tX在概率空間在概率空間上的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量族上的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量族為)(P??)(TttXXT???該概率空間上的一隨機(jī)過程。其中該概率空間上的一隨機(jī)過程。其中是一實(shí)數(shù)集，稱為指標(biāo)集或參數(shù)集。是一實(shí)數(shù)集，稱為指標(biāo)集或參數(shù)集。RT?隨機(jī)過程的兩種描述方法：隨機(jī)過程的

3、兩種描述方法：用映射表示用映射表示，TXRTtX???:)(?即是一定義在是一定義在上的二元單值函數(shù)，固定上的二元單值函數(shù)，固定，是一定義在是一定義在)(??X??TTt?)(?tX樣本空間樣本空間上的函數(shù)，即為一隨機(jī)變量；對于固定的上的函數(shù)，即為一隨機(jī)變量；對于固定的，是一個(gè)是一個(gè)????)(??X關(guān)于參數(shù)關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)，或稱隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，所有樣的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)，或稱隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，所有樣Tt?本函

4、數(shù)的集合確定一隨機(jī)過程。記號本函數(shù)的集合確定一隨機(jī)過程。記號有時(shí)記為有時(shí)記為或簡記為或簡記為。)(?tX)(?tX)(tX參數(shù)參數(shù)一般表示時(shí)間或空間。常用的參數(shù)一般有：（一般表示時(shí)間或空間。常用的參數(shù)一般有：（1）T；（；（2）；（；（3），其中，其中可以可以2100???NT210????T][baT?a取或，可以取可以取。當(dāng)參數(shù)取可列集時(shí)，一般稱隨機(jī)過程為隨機(jī)序列。。當(dāng)參數(shù)取可列集時(shí)，一般稱隨機(jī)過程為隨機(jī)序列。0??b??隨機(jī)過程隨

5、機(jī)過程可能取值的全體所構(gòu)成的集合稱為此隨機(jī)過程的狀可能取值的全體所構(gòu)成的集合稱為此隨機(jī)過程的狀)(TttX?態(tài)空間，記作態(tài)空間，記作。中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)或更一般中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)或更一般SS的抽象空間構(gòu)成。實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)過程的狀態(tài)一般都具有特定的物理意義。的抽象空間構(gòu)成。實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)過程的狀態(tài)一般都具有特定的物理意義。例1：拋擲一枚硬幣，樣本空間為：拋擲一枚硬幣，樣本空間為，借此定義

6、：，借此定義：TH??菁英班_隨機(jī)過程講稿作者孫應(yīng)飛（一）（一）以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特性分類：以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特性分類：以參數(shù)集以參數(shù)集的性質(zhì)，隨機(jī)過程可分為兩大類：（的性質(zhì)，隨機(jī)過程可分為兩大類：（1）可列；（可列；（2）不可列。不可列。TTT以狀態(tài)空間以狀態(tài)空間的性質(zhì)，即的性質(zhì)，即所取的值的特征，隨機(jī)過程也可以分為兩大所取的值的特征，隨機(jī)過程也可以分為兩大S)(tX類：（類：（1）離散狀態(tài)，即）離散狀態(tài)，即所取的值是離散的；（所

7、取的值是離散的；（2）連續(xù)狀態(tài)，即）連續(xù)狀態(tài)，即所)(tX)(tX取的值是連續(xù)的。取的值是連續(xù)的。由此可將隨機(jī)過程分為以下四類：由此可將隨機(jī)過程分為以下四類：（a）離散參數(shù)離散型隨機(jī)過程；離散參數(shù)離散型隨機(jī)過程；（b）連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過程；（c）連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程；（d）離散參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程。離散參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程。（二）（二）以隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征或概率特征分類：以隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特

8、征或概率特征分類：以隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來進(jìn)行分類，一般有以下一些：以隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來進(jìn)行分類，一般有以下一些：（a）獨(dú)立增量過程；獨(dú)立增量過程；（b）Markov過程；過程；（c）二階矩過程；二階矩過程；（d）平穩(wěn)過程；平穩(wěn)過程；（e）鞅；鞅；（f）更新過程；更新過程；（g）Poission過程；過程；（h）維納過程。維納過程。注意：以上兩種對隨機(jī)過程的分類方法并不是獨(dú)立的，比如，我們以后要討注意：以上兩種對隨機(jī)

9、過程的分類方法并不是獨(dú)立的，比如，我們以后要討論的論的Markov過程，就有參數(shù)離散狀態(tài)空間離散的過程，就有參數(shù)離散狀態(tài)空間離散的Markov過程，即過程，即Markov鏈，也要討論參數(shù)連續(xù)狀態(tài)離散的鏈，也要討論參數(shù)連續(xù)狀態(tài)離散的Markov過程，即純不連續(xù)過程，即純不連續(xù)Markov過程。過程。在下面幾章中，我們將研究幾種重要的、應(yīng)用非常廣泛的隨機(jī)過程。在下面幾章中，我們將研究幾種重要的、應(yīng)用非常廣泛的隨機(jī)過程。3隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨