不定積分與定積分的運算

1、1不定積分與定積分的計算不定積分與定積分的計算1.1.不定積分不定積分1.11.1不定積分的概念不定積分的概念原函數(shù)：原函數(shù)：若在區(qū)間上，則稱是的一個原函數(shù).)()(xfxF??)(xF原函數(shù)的個數(shù)原函數(shù)的個數(shù):若是在區(qū)間上的一個原函數(shù)則對，都是在區(qū)間上的原函數(shù)；若也是在區(qū)間上的原函數(shù)，則必有.可見，若，則的全體原函數(shù)所成集合為│Ｒ.原函數(shù)的存在性原函數(shù)的存在性:連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).不定積分：不定積分：的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為的不定

2、積分。記作?dxxf)(一個重要的原函數(shù)：若一個重要的原函數(shù)：若在區(qū)間上連續(xù)，，則是的一個)(xfIa??xadttf)(原函數(shù)。1.21.2不定積分的計算不定積分的計算(1)(1)裂項積分法裂項積分法例1：。Cxxxdxxxdxxxdxxx?????????????????arctan23)121(121113222424例2：???????dxxxdxxxxxxxdx)sec(cscsincossincossincos2222222

3、23被積函數(shù)包含處理方法是令)0(22??axatxtan?被積函數(shù)包含處理方法是令)0(22??aaxtxsec?例7：計算??220axdxa???解：令sinarcsin22xxatttaxaa??????????則，且22coscoscosaxatatdxatdt????從而22axdx??=??222cos.coscos1cos22aatatdtatdttdt??????=2221sin2sincos2222aaattCttt

4、C???????????由圖2.1知22sincosxaxttaa???所以22axdx??=2222arcsin22axaxaxCaaa????=222arcsin22axxaxCa???例8:8:????????????????????tdtdtttdttxxdxxt16)1(6162326.cxxx????????????6361ln216(4)(4)分部積分法分部積分法當積分當積分不好計算不好計算但容易計算時容易計算時使用分部積