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1、第4章不定積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不設(shè)fx,xI,若存在函數(shù)Fx,使得對任意xI均有Fxfx定積或dFxfxdx,則稱Fx為fx的一個原函數(shù)。分的fx的全部原函數(shù)稱為fx在區(qū)間I上的不定積分,記為概念fxdxFxC注:1)若(fx連續(xù),則必可積;2)若FxGx均為fx的原函數(shù),則(FxGxC。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性dfxdxfx或dfxdxfxdx;dx性質(zhì)1:質(zhì)不性質(zhì)2:FxdxFxC或dFxFxC;定積性質(zhì)3:fxgxdxfx
2、dxgxdx,為非零常數(shù)。分計(jì)設(shè)fu的原函數(shù)為Fu,ux可導(dǎo),則有換元公式:算第一換元方積分法法(湊微分法)fxxdxfxdxFxC第二類設(shè)xt單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零,ftt有原函數(shù)Ft,換元積分法fxdxfttdtFtCF1則xC分部積分法uxvxdxuxdvxuxvxvxdux有理函數(shù)積若有理函數(shù)為假分式,則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和;對真分式的處理分按情況確定。本章在下一章定積分中由微積分基本公式可知求定積分的問題,實(shí)質(zhì)上是求被
3、積函數(shù)的原函數(shù)問題;的地后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分,最終的解決都?xì)w結(jié)為對定積分的求位與解;而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講,不定積分在整個積分注:容易看出56兩題的解題思路是一致的。一般地,如果被積函數(shù)為一個有理的假分式,通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式,再分項(xiàng)積分。x134★7()2xx3x4dx思路:分項(xiàng)積分。x13411解:(34)xdxdx3x3dx4x4dx2
4、xxxdx2x123243xlnxxxC.42332★81x21x2dx思路:分項(xiàng)積分。3211解:1x21x2dx31x2dx21x2dx3arctanx2arcsinxC.★★9xxxdx1117思路:xxx?看到xxxx248x8,直接積分。71588解:xxxdxx8dx15xC.1★★10x21x2dx思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。111111解:x21x2dx2x1x2dx2dxx1x2dxarctanxC.xe2x1★11xdxe1
5、e2x1ex1ex1解:ex1dxex1dxex1dxexxC.3edxxx★★12思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法:指數(shù)不變,底數(shù)相乘。顯然3e3e)。(xxx(3e)x解:3edx(3e)dxC.xxxln3ecot2★★13xdx思路:應(yīng)用三角恒等式“cotxcscx1”22。解:cotxdxcscx1dxcotxxC2223x52x★★143xdx23x52x2x思路:被積函數(shù)x2(),積分沒困難。5332x2352x2xx解:
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