高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何講座(非常詳細)

1、1第一講注意添加平行線證題在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時若能依據(jù)證題的需要添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題一般有如下四種情況.1、為了改變角的位置、為了改變角的位置大家知道兩條平行直線被第三條直線所截同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補.利用這些性質(zhì)?？赏ㄟ^添加平行線將某些角的位置改變以滿足求解的需要.例1、設(shè)P、Q為線段BC上兩點且BP＝C

2、QA為BC外一動點(如圖1).當(dāng)點A運動到使∠BAP＝∠CAQ時△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：當(dāng)點A運動到使∠BAP＝∠CAQ時△ABC為等腰三角形.證明：如圖1分別過點P、B作AC、AQ的平行線得交點D.連結(jié)DA.在△DBP＝∠AQC中顯然∠DBP＝∠AQC∠DPB＝∠C.由BP＝CQ可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC∠BDP＝∠QAC.于是DA∥BP∠BAP＝∠BDP.則A、D、B、P四點共圓且四邊形ADBP為等腰梯形

3、.故AB＝DP.所以AB＝AC.這里通過作平行線將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點共圓使證明很順暢.例2、如圖2四邊形ABCD為平行四邊形∠BAF＝∠BCE.求證：∠EBA＝∠ADE.證明：證明：如圖2分別過點A、B作ED、EC的平行線得交點P連PE.由ABCD易知△PBA≌△ECD.有PA＝EDPB＝EC.顯然四邊形PBCE、PADE均為平行四邊形.有∠BCE＝∠BPE∠APE＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE可

4、知∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四點共圓.于是∠EBA＝∠APE.所以∠EBA＝∠ADE.這里通過添加平行線使已知與未知中的四個角通過P、B、A、E四點共圓緊密聯(lián)系起來.∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介證法很巧妙.2、欲、欲“送”線段到當(dāng)處線段到當(dāng)處利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條?？赏ㄟ^添加平行線將某些線段“送”到恰當(dāng)位置以證題.例3、在△ABC中BD、CE為角平分線P為ED上任意一點.過P

5、分別作AC、AB、BC的垂線M、N、Q為垂足.求證：PM＋PN＝PQ.證明：證明：如圖3過點P作AB的平行線交BD于F過點F作BC的∥＝ADBPQC圖1PEDGABFC圖2ANEBQKGCDMFP圖33對比(1)、(2)、(3)有AP＝AQ.顯然AD為PQ的中垂線故AD平分∠PDQ.所以∠FDA＝∠EDA.這里原題并未涉及線段比添加BC的平行線就有大量的比例式產(chǎn)生恰當(dāng)?shù)剡\用這些比例式就使AP與AQ的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來.4、為了線段相等的傳

6、遞、為了線段相等的傳遞當(dāng)題目給出或求證某點為線段中點時應(yīng)注意到平行線等分線段定理用平行線將線段相等的關(guān)系傳遞開去.例6在△ABC中AD是BC邊上的中線點M在AB邊上點N在AC邊上并且∠MDN＝90.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2求證：AD2＝(AB2＋AC2).41證明：證明：如圖6過點B作AC的平行線交ND延長線于E.連ME.由BD＝DC可知ED＝DN.有△BED≌△CND.于是BE＝NC.顯然MD為EN的中垂線.有EM＝MN.由

7、BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2可知△BEM為直角三角形∠MBE＝90.有∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90.于是∠BAC＝90.所以AD2＝＝(AB2＋AC2).221??????BC41這里添加AC的平行線將BC的以D為中點的性質(zhì)傳遞給EN使解題找到出路.例7、如圖7AB為半圓直徑D為AB上一點分別在半圓上取點E、F使EA＝DAFB＝DB.過D作AB的垂線交半圓于C.求證：CD平分EF.證明：

8、證明：如圖7分別過點E、F作AB的垂線G、H為垂足連FA、EB.易知DB2＝FB2＝ABHBAD2＝AE2＝AGAB.二式相減得DB2－AD2＝AB(HB－AG)或(DB－AD)AB＝AB(HB－AG).于是DB－AD＝HB－AG或DB－HB＝AD－AG.就是DH＝GD.顯然EG∥CD∥FH.故CD平分EF.這里為證明CD平分EF想到可先證CD平分GH.為此添加CD的兩條平行線EG、FH從而得到G、H兩點.證明很精彩.經(jīng)過一點的若干直線