函數(shù)的性質(zhì)(1)

1、1函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)1奇偶性奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；○1由函數(shù)的奇偶性定義可知

2、，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任○2意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；○1確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；○2作出相應(yīng)結(jié)論：○3若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)（3）簡單性質(zhì)：①圖象的

3、對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；②設(shè)()fx，()gx的定義域分別是12DD，那么在它們的公共定義域上：奇奇=奇，奇?奇=偶，偶偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇例1討論下述函數(shù)的奇偶性：)111(1)()3()0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(22116)()1(222??????????????????????xxogxfxxxnxxxxnxfxfx

4、xx)0(||)()4(22?????aaaxxaxf常數(shù)2.（2010重慶理）(5)函數(shù)??412xxfx??的圖象A.關(guān)于原點對稱B.關(guān)于直線y=x對稱C.關(guān)于x軸對稱D.關(guān)于y軸對稱3.（2010廣東理）3若函數(shù)f（x）=3x3x與g（x）=3x3x的定義域均為R，則32.單調(diào)單調(diào)性：性：（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1f(x2)），那么就說f(

5、x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；○1必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)○2（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x)A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映

6、射g:x→u=g(x)的象集：（同增異減）①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取x1，x2∈D，且x1x2；作差f(x1)－f(x2)；○1○2變形

7、（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；○3○4下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）?！?（5）簡單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；?)(xf)(xg?)(xf)(xg增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。?)(xf)(xg?)(xf)(xg單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)，那么在是增

8、函數(shù)；??baxx21???????xfxxxfxf????02121??ab在是減函數(shù)；??????xfxxxfxf????02121??ab在是減函數(shù)。??????12120xxfxfx???????()fx???ab復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷。（同增異減）3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.利用定義都是充要性命題.4.即若在區(qū)間上遞增（遞減）且()；()fxD1212()()fxfxxx???1x2xD?若在區(qū)間上遞遞減且.().()fxD1212(