一線三等角型相似初三壓軸題

1、1中考熱點(diǎn)中考熱點(diǎn)5——三等角型相似三角形三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。典型例題典型例題【例1】如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6

2、，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60（1）求證：△BDE∽△CFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE【思路分析思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得∠B=∠C=∠EDF=60再用外角可證∠BED=∠CDF，可證△BDE與△CFD相似排出相似比便可求得線段BE的長(zhǎng)度解：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∠EDF=60∴∠B=∠C=∠EDF=60∵∠EDC=∠EDF∠FDC=∠B∠BED∴∠BED=∠FDC∴△BDE∽△CFD（2）

3、∵△BDE∽△CFD∴BECDBDFC?∵BD=1，F(xiàn)C=3，CD=5∴BE=35點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：三等角型的相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊中已知三邊可以求第四邊。【例2】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，求證：△BDE∽△DFE【思路分析思路分析】比較例1來(lái)說(shuō)區(qū)別僅是點(diǎn)D成為了BC的中點(diǎn)，所以△BDE與△CFD相似的結(jié)論依然成立，用相似后的對(duì)應(yīng)邊成比例，以及BD=CD的條件可證得△BDE和△DFE相似解：解：∵AB=AC

4、，∠EDF=∠B∴∠B=∠C=∠EDF∵∠EDC=∠EDF∠FDC=∠B∠BED∴∠BED=∠FDC∴△BDE∽△CFD∴又∵BD=CDDFDECDBE?∴即DFDEBDBE?DFBDDEBE?∵∠EDF=∠BCADBEFCDEABF3【例4】（1）在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)ABC?5??ACAB8?BCPQCBACP、點(diǎn)重合），且保持.CBABCAPQ???①若點(diǎn)在線段上（如圖10），且，求線段的長(zhǎng)；PCB6?BPCQ②若

5、，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的xBP?yCQ?yx定義域；（2）正方形的邊長(zhǎng)為（如圖12），點(diǎn)、分別在直線、ABCD5PQCB上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.DCPCB???90APQ當(dāng)時(shí)，寫出線段的長(zhǎng)（不需要計(jì)算過程，請(qǐng)直接寫出結(jié)果）.1?CQBP【思路分析思路分析】本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動(dòng)至線段的延長(zhǎng)線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原

6、來(lái)的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。解：解：（1）∵，，BAPBCPQAPQ???????ABCAPQ???∴.CQPBAP???又∵，∴.ACAB?CB???∴∽.QCP?ABP?∴.ABCPBPCQ?∵，，，，5??ACAB8?BC6?BP268???CP∴，.526?CQ512?CQ（2）若點(diǎn)在線段上，由（1）知.PCBABCPBPCQ?∵，，∴，xBP?8?BCxB