3-時域分析法

1、第3章 時域分析法,本章的主要內(nèi)容 3.1 典型的輸入激勵及性能指標(biāo) 3.2 一階系統(tǒng)分析 3.3二階系統(tǒng)分析 3.4 穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù) 3.5穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù),3.1 典型輸入過程及性能指標(biāo),3.1.1 典型輸入信號及輸出波形 3.1.2 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),什么是時域分析? 指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據(jù)輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。,⒈ 單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：

2、,⒉ 單位階躍函數(shù)響應(yīng)：,⒊ 單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：,⒋ 單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：,典型響應(yīng)：,3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),在典型信號作用下，控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)是由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。所以控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。,1.動態(tài)過程和動態(tài)性能,動態(tài)過程（過渡過程、暫態(tài)過程）：在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)從初態(tài)到終態(tài)的響應(yīng)過程。動態(tài)響應(yīng)過程有三種情況：衰減型、發(fā)散型、等幅振蕩型,動態(tài)性能：當(dāng)系統(tǒng)的時間響應(yīng)c(

3、t)中的瞬態(tài)分量較大而不能忽略時，稱系統(tǒng)處于動態(tài)或過渡過程中，這時系統(tǒng)的特性。,階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)：在測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)時，由于階躍函數(shù)可以表征系統(tǒng)受到的最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，動態(tài)性能指標(biāo)，一般由階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)來描述。,（3） 最大超調(diào)量（簡稱超調(diào)量） ：,（1） 上升時間 ：,輸出響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值y(∞)所需的時間?；蛑赣煞€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。,輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值yma

4、x所需要的時間。,（2） 峰值時間 ：,（4）調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間 ：,當(dāng) 和 之間的誤差達到規(guī)定的范圍之內(nèi)[比如 或 ]，且以后不再超出此范圍的最小時間。,2.穩(wěn)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)性能,穩(wěn)態(tài)過程是指當(dāng)時間t趨近于無窮大時，系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能來描

5、述。,通常討論在階躍、斜坡、加速度函數(shù)作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；穩(wěn)態(tài)誤差用來衡量系統(tǒng)的控制精度或抗擾動性能。,ess=c期望- c（ ）,快速性指標(biāo)：上升時間和峰值時間 穩(wěn)定性指標(biāo)：超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間,3.2 一階系統(tǒng)分析,3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍系統(tǒng) 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡系統(tǒng) 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位脈沖系統(tǒng),3.2 .1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,以一階微分方程作為數(shù)學(xué)模型的控制系

6、統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。如圖所示的一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為,,,其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,式中， ,稱為時間常數(shù)。,3.2 2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),,,單位階躍響應(yīng)函數(shù)：,其單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。輸出響應(yīng)從零開始按指數(shù)規(guī)律上升，最后趨于1。,可見，調(diào)整時間只與時間常數(shù)T有關(guān)。T越小，系統(tǒng)特征根離虛軸越遠(yuǎn)，調(diào)節(jié)時間越短。,3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),,設(shè)系統(tǒng)的輸入信號為單位斜坡函數(shù)，即 。則可求得輸出的拉氏變換為

7、,,,,,c(t),T,0,T,t,一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線如圖,輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性（T值）越小，跟蹤的準(zhǔn)確度越高。,3.2 4 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),,,當(dāng)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，由于R(s)=1所以系統(tǒng)輸入量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即,,這時系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)，其表達式為,,,可見，單位脈沖響應(yīng)中只包含瞬態(tài)分量。,3.3 二階系統(tǒng)分析,3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3

8、.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.3.3高階系統(tǒng)的時域分析,3.3.1 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,,,二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng).這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。系統(tǒng)典型 結(jié)構(gòu)和傳遞函數(shù)為：,,,,稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)， 稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。,,,特征方程為：,⒈ 當(dāng)時 ，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)

9、的等幅振蕩。,⒉ 當(dāng)時 ，特征方程有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。,⒊ 當(dāng) 時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。,⒋ 當(dāng) 時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。,3.3.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),,,,,,當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，

10、 ，有：,[分析]：,1.欠阻尼情況,極點的負(fù)實部 決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部 是振蕩頻率。稱 為阻尼振蕩圓頻率。其周期為:,,,,,,,指標(biāo)計算:,1.上升時間:,,即：,當(dāng),一定時，,越大則,越大,當(dāng),一定時，,越大則,越小,2.超調(diào)量 :,,即：,,上式表明超調(diào)量σ的大小只決定于阻尼比值,,,,即：,當(dāng),一定時，,越大則,越大,當(dāng),一定時，,越大則,越小,2

11、.超調(diào)量 :,,,超調(diào)量σ的大小只決定于阻尼比值,,,指標(biāo)計算:,3.調(diào)節(jié)時間:,,4.達到穩(wěn)態(tài)的振蕩次數(shù) :,,依,定義 忽略正弦因子影響，以包絡(luò)線進入,誤差帶的時刻為,,,討論：,,,減小時： 超調(diào)量增大，達到穩(wěn)態(tài)的振蕩次數(shù)增加，即系統(tǒng)振蕩的越厲害！此時，若 一定，則上升時間，峰值時間減小，但調(diào)節(jié)時間增加，即系統(tǒng)的響應(yīng)加快，但穩(wěn)定性越差！,極點（特征根）的分布與穩(wěn)定性、響應(yīng)快慢的關(guān)系？？,課本p203,,,,,,,討

12、論：,,,減小時： 超調(diào)量增大，達到穩(wěn)態(tài)的振蕩次數(shù)增加，即系統(tǒng)振蕩的越厲害！此時，若 一定，則上升時間，峰值時間減小，但調(diào)節(jié)時間增加，即系統(tǒng)的響應(yīng)加快，但穩(wěn)定性越差！,極點（特征根）的分布與穩(wěn)定性、響應(yīng)快慢的關(guān)系？？,課本p203,例題：,,,,,,2.無阻尼情況,極點為：,此時輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以， 稱為無阻尼振蕩圓頻率。,3.臨界阻尼情況,極點為：,階躍響應(yīng)函數(shù)為：,4.過阻尼情況,極點為：,

13、,其中，A1、A2、A3為待定系數(shù)。據(jù)此，可求得輸出響應(yīng)的拉氏反變換 ：,,,當(dāng)P1<<P2時，系統(tǒng)的動態(tài)性能主要由 決定，基本等價于一階系統(tǒng)。,上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：,典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),可以看出：隨著 的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當(dāng)

14、 時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢?反映實際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。,,,例 設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,,例3-2 設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統(tǒng)的增益不是1，而是3。系統(tǒng)模型為：,,然后由響應(yīng)的 、 及相應(yīng)公式，即可換算出 、 。,（s）,,由

15、公式得,,換算求解得：,,,,,,,,,,,,,3.3.3 傳遞函數(shù)零極點與控制系統(tǒng)性能TF Poles&Zeros and CS Performance,,,,,,,,,,,,主極點的定義,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分母,閉環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)振蕩程度變?nèi)酰瑧T性變大！,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,相位超前，為何？,,,,,,,,,,,,改善二階系統(tǒng)動態(tài)性能的措施,什么變化了？,什么變化了？,,,

16、3.2 高階系統(tǒng)的時域分析,,,,,,3.2 高階系統(tǒng)的時域分析,,,,,,高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,寫成零極點形式：,單位階躍響應(yīng)為：,對上式進行部分分式展開,對上式拉氏變換得：,高階系統(tǒng)有如下結(jié)論： （1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 和 決定。如果某極點遠(yuǎn)離虛軸，那么其相應(yīng)的瞬態(tài)分量比較小，且持續(xù)時間較短。,（2）高階系統(tǒng)各瞬態(tài)分量的系數(shù) 和 不僅與復(fù)平面中極點的位置有關(guān)，而與零

17、點的位置有關(guān)。,（3）在系統(tǒng)中，如果距虛軸最近的極點，其實部的絕對值為其他極點實部絕對值的1/5甚至更小，并且在其附近沒有零點存在，則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)將主要由此極點左右。,,3.4線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判據(jù),一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如,電壓自動調(diào)解系統(tǒng)中保持電機電壓為恒定的能力;電機自動調(diào)速系統(tǒng)中保持電機轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定

18、義為：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。,,,也可以說,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后,系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過渡過程的收斂性,用數(shù)學(xué)方法表示就是式中，?x(t)為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的變化量;?為任意小的規(guī)定量。如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來越大,顯然它不可能是一個穩(wěn)定

19、系統(tǒng)。,,,(1)必要條件,說明：,,,例1,,不穩(wěn)定,不穩(wěn)定,可能穩(wěn)定,對于1階2階系統(tǒng)，此為充分 必要條件,(2) 勞斯（Routh）判據(jù),勞斯表,勞斯表第一列元素均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定 且第一列元素符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實部根的個數(shù),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,s5s4s3s2s1s0,,,,,5,25,0,0,10,出現(xiàn)全零行時：用上一行元素組成輔助方程，將其對S求導(dǎo)一次，

20、用新方程的系數(shù)代替全零行系數(shù)，之后繼續(xù)運算。,25,0,列輔助方程：,例 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,出現(xiàn)全零行時，系統(tǒng)可能出現(xiàn)一對共軛虛根；或一對符號相反的實根；或兩對實部符號相異、虛部相同的復(fù)根。,3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法,（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,按輸入端定義的誤差,按輸出端定義的誤差,穩(wěn)態(tài)誤差,動態(tài)誤差：誤差中的穩(wěn)態(tài)分量,

21、靜態(tài)誤差：,（2）求誤差傳遞函數(shù),（3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差,,補：,開環(huán)傳遞函數(shù),,控制作用r(t)下的閉環(huán)傳遞函數(shù),,,干擾n(t)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),,,系統(tǒng)的總輸出及總偏差（由疊加原理）,,,例1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知 r(t)=n(t)=t，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解．,例 2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求 r(t)分別為A·1(t), At, At2/2時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解．,系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù),影響 e