模糊數(shù)學(xué)2009-4分布函數(shù)、貼近度

1、吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,1,模糊數(shù)學(xué) 第四講,孫舒楊Email. sysun@jlu.edu.cn,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,2,設(shè)U={1,2,3,4,5,6}，H是集值映射，且滿足下式，試由H求出相應(yīng)的模糊集A, Aλ,Aλ . ?λ ∈[0,1],吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,3,答案,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,4,A＝1{5,6} ∪0.8{2,5,6} ∪0.6{2,4,5,6} ∪0.5{1,2,4,

2、5,6} ∪0.2{1,2,3,4,5,6}},吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,5,隸屬函數(shù)確定方法之二,模糊分布,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,6,什么是模糊分布？,最常見的論域?qū)崝?shù)集R實(shí)數(shù)集R上的模糊集合的隸屬函數(shù)稱為模糊分布,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,7,模糊分布法的步驟,先假設(shè)要建立的隸屬函數(shù)服從一個(gè)分布（帶參數(shù)）然后設(shè)法去確定其中參數(shù)參數(shù)確定，則隸屬函數(shù)確定,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,8,模糊分布的三種類型,偏小

3、型：小、冷、年輕偏大型：大、熱、年老中間型：中、暖、中年,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,9,偏小型模糊分布,偏向小的一方的模糊現(xiàn)象小、冷、年輕隸屬函數(shù)的一般形式如下，其中a為常數(shù)，f (x)為非遞增函數(shù),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,10,偏大型模糊分布,偏向大的一方的模糊現(xiàn)象大、熱、年老隸屬函數(shù)的一般形式如下，其中a為常數(shù)，f (x)為非遞減函數(shù),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,11,中間型模糊分布,處于中間狀態(tài)的模糊

4、現(xiàn)象中、暖、中年隸屬函數(shù)的一般形式如下，其中a,b為常數(shù),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,12,1-10 常用的模糊分布,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,13,常用的分布類型,矩形梯形K次拋物型正態(tài)分布柯西分布（也稱為哥西分布，Cauchy）嶺形分布,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,14,1.矩形分布（曲線）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,15,1. 矩形分布（隸屬函數(shù)）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,16,2. 梯形分布

5、,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,17,2. 偏小型梯形分布,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,18,2. 偏大型梯形分布,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,19,2.中間型梯形分布,請(qǐng)寫出中間型的隸屬函數(shù),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,20,3. 拋物型,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,21,3. 拋物型（偏小型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,22,3. 拋物型（偏大型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,23,3.拋物型（中間型）,,

6、吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,24,4.正態(tài)分布,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,25,4.正態(tài)分布（中間型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,26,4.正態(tài)分布（偏小型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,27,4.正態(tài)分布（偏大型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,28,4.正態(tài)分布（另一種中間型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,29,5.柯西分布,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,30,5.柯西分布（中間型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與

7、技術(shù)學(xué)院,31,5.柯西分布（偏小型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,32,5.柯西分布（偏大型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,33,正態(tài)分布與柯西分布,正態(tài)分布 柯西分布柯西分布下降比正態(tài)分布下降要慢很多,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,34,6.嶺型分布,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,35,6. 嶺型分布（偏小型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,36,6. 嶺型分布（偏

8、大型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,37,6. 嶺型分布（中間型）,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,38,如何選取模糊分布？,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,39,選擇模糊分布的兩種方式,直接根據(jù)討論對(duì)象的特點(diǎn)選擇利用模糊統(tǒng)計(jì)通過統(tǒng)計(jì)資料得到大致曲線與模糊分布做比較，選擇最相似分布根據(jù)實(shí)驗(yàn)確定較符合實(shí)際的參數(shù)得到隸屬函數(shù)表達(dá)式,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,40,確定隸屬函數(shù)的例子,模糊概念：“年輕人”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)曲線

9、與柯西分布的偏小型相似,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,41,確定三個(gè)參數(shù),a = 25β= 2α=？考慮最模糊的點(diǎn)（30歲，隸屬度應(yīng)該是0.5）α=1/25,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,42,課上作業(yè),在一個(gè)熒光屏上，用一個(gè)光點(diǎn)的上下運(yùn)動(dòng)快慢代表15種不同的運(yùn)動(dòng)速度，記V={1,2,…,15}，主試者隨機(jī)給出15種速率，讓被試者按“快”“中”“慢”進(jìn)行分類，每種速率共給出320次，判斷結(jié)果如下表：,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

10、,43,,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,44,,試用頻率作為隸屬度，確定模糊概念“快”“中”“慢”在V中所表現(xiàn)的模糊集畫出上述概念在V上的隸屬函數(shù)圖將圖中離散點(diǎn)用折線連起來，作為區(qū)間v’=[1,15]上的隸屬函數(shù)曲線,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,45,第二章模糊模式識(shí)別,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,46,何謂模式識(shí)別？,對(duì)某個(gè)具體對(duì)象，識(shí)別它屬于何類。這類問題稱為模式識(shí)別。,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,47,2-1 模糊

11、集的貼近度,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,48,貼近度,貼近度是對(duì)兩個(gè)模糊集合接近程度的一種度量。,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,49,貼近度的定義,設(shè)A,B,C∈F(U), 若映射N:F(U)×F(U)?[0,1] 滿足條件：N(A,B)=N(B,A)N(A,A)=1, N(U,Ф)=0若A?B?C,則N(A,C)≤N(A,B)∧N(B,C)則稱N(A,B)為模糊集合A與B的貼近度，N稱為F(U)上的貼近度函數(shù)。,

12、吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,50,常見的貼近度,海明貼近度（距離貼近度）歐幾里德貼近度測(cè)度貼近度,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,51,海明貼近度,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,52,2-2 格貼近度,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,53,模糊向量,有限論域上的模糊集合可以表示成模糊向量的形式模糊集合的第三種記法例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}上的模糊集合A=(μ1 , μ2 , μ3 , μ4 ,,

13、μ5),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,54,模糊向量的內(nèi)積（有限論域）,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,55,內(nèi)積例子,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求向量a和b的內(nèi)積,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,56,模糊集合的內(nèi)積（任意論域）,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,57,外積（內(nèi)積對(duì)偶運(yùn)算）,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,58,外積例子

14、,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求向量a和b的外積,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,59,余運(yùn)算,在閉區(qū)間[0,1]上定義余運(yùn)算：?a∈[0,1], ac=1-a,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,60,性質(zhì)1,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,61,性質(zhì)1證明,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,62,峰值和谷值,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技

15、術(shù)學(xué)院,63,求下例的峰值和谷值,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3),吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,64,內(nèi)外積的性質(zhì)2,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,65,內(nèi)外積的性質(zhì)3,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,66,內(nèi)外積的性質(zhì)4,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,67,內(nèi)外積的性質(zhì)5,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,68,內(nèi)外積的性質(zhì)6,吉林大學(xué)計(jì)

16、算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,69,內(nèi)外積的性質(zhì)7,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,70,內(nèi)外積-例,設(shè)論域U為實(shí)數(shù)域，其上有兩個(gè)正態(tài)模糊集A,B,它們的隸屬函數(shù)如下，試求A、B的內(nèi)外積。,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,71,內(nèi)積,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,72,A、B的外積是什么？,0,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,73,下圖的內(nèi)積表示什么？,兩個(gè)模糊集A、B交點(diǎn)縱坐標(biāo)其值越大，A、B越靠近；,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,74,下圖的外積

17、表示什么？,兩個(gè)模糊集A、B交點(diǎn)縱坐標(biāo)其值越小，A、B越靠近；,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,75,內(nèi)外積與靠近程度,兩個(gè)模糊集有時(shí)：內(nèi)積越大，這兩個(gè)模糊集越靠近；有時(shí)：外積越小，這兩個(gè)模糊集越靠近；,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,76,貼近度,單獨(dú)的內(nèi)積或外積，足以刻畫兩個(gè)模糊集合的貼近程度嗎？不能！考慮用二者相結(jié)合的“格貼近度”刻畫兩個(gè)模糊集的貼近程度。,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,77,定理1,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技

18、術(shù)學(xué)院,78,求格貼近度的例子,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求A和B的格貼近度,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,79,格貼近度－例,設(shè)論域U為實(shí)數(shù)域，其上有兩個(gè)正態(tài)模糊集A,B,它們的隸屬函數(shù)分別如下，試求A、B的格貼近度。,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,80,內(nèi)外積-例,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,81,其他格貼近度,吉林大學(xué)計(jì)

19、算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,82,2-3 模糊模式識(shí)別原則,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,83,何謂模式識(shí)別？,對(duì)某個(gè)具體對(duì)象，識(shí)別它屬于何類。這類問題稱為模式識(shí)別。根據(jù)識(shí)別對(duì)象的不同，有兩種方法直接方法間接方法,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,84,模糊模式識(shí)別的方法,直接方法識(shí)別對(duì)象為論域中的單個(gè)元素最大隸屬原則、閾值原則間接方法識(shí)別對(duì)象為論域上的一個(gè)模糊集擇近原則,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,85,最大隸屬原則,設(shè)Ai∈F

20、(U) (i=1,2,…,n)對(duì)于u0∈U，若存在i0，使得則認(rèn)為u0相對(duì)地隸屬于,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,86,最大隸屬原則——例,例1. 設(shè)論域U=[0,100]上確定三個(gè)模糊集A=“優(yōu)”，B=“良”，C=“差”,考慮成績(jī)88應(yīng)該評(píng)為什么等級(jí)？他們的隸屬函數(shù)分別為,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,87,最大隸屬原則——例,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,88,最大隸屬原則——例,A(88)=0.8B(88)=0.7C(

21、88)=0A(88)=max{A(88), B(88), C(88)}88應(yīng)評(píng)為“優(yōu)”,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,89,閾值原則,設(shè)論域U= {u1, u2, …, un}上有m個(gè)模糊集合A1, A2, …, Am （即m個(gè)模型）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),設(shè)定一個(gè)閾值α ∈[0,1], 對(duì)任一x0∈U，若存在i=i1,i2,..,ik,使Ai(x0)≥ α，則判決為：x0相對(duì)隸屬于Ai1∩ Ai2 ∩… ∩ AiK,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)

22、與技術(shù)學(xué)院,90,閾值原則,否則對(duì)于任何i=1,…,m,均有Ai(x0)< α 則說不能識(shí)別x0相對(duì)隸屬于誰,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,91,擇近原則,識(shí)別問題一個(gè)模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別實(shí)質(zhì)：求兩個(gè)模糊集的貼近程度,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,92,什么是擇近原則？,,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,93,擇近原則,所謂擇近原則，就是要從一群模糊集合A1, A2, …, An, B中判定B歸于的Ai的哪一類計(jì)算B

23、與Ai (i=1,…,n)的貼近度，若N(B,Ak)最大，則B與Ak為一類,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,94,擇近原則——例,茶葉等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)樣品五種：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ論域U={條索,色澤,凈度,香氣,滋味}論域中的每個(gè)元素都是反應(yīng)茶葉質(zhì)量的因素之一,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,95,擇近原則——例,Ⅰ =(0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4)Ⅱ =(0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.

24、2)Ⅲ =(0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2)Ⅳ =(0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1)Ⅴ =(0, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)給出一種茶葉樣品，可用模糊集A表示：A=(0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6)，問：茶葉A是哪個(gè)等級(jí)？（用格貼近度）,吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,96,用格貼近度計(jì)算,N(A,Ⅰ )=0.5N(A,