第2章模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第 2 章,模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ),模糊數(shù)學(xué)(模糊集）是模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是由美國(guó)加利福尼亞大學(xué)Zadeh教授最先提出的。他將模糊性和集合論統(tǒng)一起來(lái)，在不放棄集合的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的同時(shí)，使其吸取人腦思維中對(duì)于模糊現(xiàn)象認(rèn)識(shí)和推理的優(yōu)點(diǎn)。,“模糊”，是指客觀事物彼此間的差異在中間過(guò)渡時(shí)，界限不明顯，呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相對(duì)于“精確”而言的。,模糊數(shù)學(xué)并不是讓數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，而是用數(shù)學(xué)工具對(duì)模糊現(xiàn)象進(jìn)行描述和分析。模糊數(shù)學(xué)是對(duì)經(jīng)典

2、數(shù)學(xué)的擴(kuò)展，它在經(jīng)典集合理論的基礎(chǔ)上引入了“隸屬函數(shù)”的概念，來(lái)描述事物對(duì)模糊概念的從屬程度。,2.2.1 經(jīng)典集合的定義及表示方法,1. 經(jīng)典集合的概念,任給一個(gè)性質(zhì)P，把滿足性質(zhì)P的對(duì)象，也僅有具有性質(zhì)P的對(duì)象，匯集起來(lái)構(gòu)成一個(gè)集合,論域：被考慮對(duì)象的所有元素的全體稱為論域（全域、全集、空間）。英文大寫(xiě)字母U或E表示。,元素：論域中的每個(gè)對(duì)象。英文小寫(xiě)字母a、b、c、…、x、y、z表示。,集合：給定論域中具有某種屬性的、確定的、彼此

3、可以區(qū)別的事物全體。英文大寫(xiě)字母A、B、C、…、X、Y、Z表示。,論域、元素與集合之間的關(guān)系：論域是元素的全體，集合是論域中部分元素的全體。元素與集合是屬于“?”或者是不屬于“?”的關(guān)系。,,,2. 經(jīng)典集合的表示方法,（1）列舉法—將集合中的元素一一列出，適用表示元素的有限集合。,（2）定義法—通過(guò)描述集合中元素的共性定義集合，適用表示元素的有限集合，也適用于不能一一列舉元素的集合。,（2）特征函數(shù)法—利用非此即彼的明晰性表示集合。,

4、3. 幾種特殊的集合,（1）全集E—包含論域中的全部元素的集合。,（2）空集?—不包含任何元素的集合。,（3）子集—集合A中的全部元素同時(shí)也都是集合B中的元素，則A是B的一個(gè)子集：A?B。 A?B且B?A，則稱A與B相等，A=B。,（4）冪集P(A)—由集合A的所有子集構(gòu)成的集合。,4. 經(jīng)典集合的基本運(yùn)算,（1）并運(yùn)算,,,（2）交運(yùn)算,（3）補(bǔ)運(yùn)算,,（4）差運(yùn)算,,5. 經(jīng)典集合運(yùn)算的基本性質(zhì),,,,,,,,2.2

5、.2 關(guān)系與映射,1. 經(jīng)典關(guān)系,（1）集合的直積—笛卡爾積,由r個(gè)集合A1，A2，?，Ar，其元素的R元組合a1，a2， ?， ar，稱為A1，A2，?，Ar上的直積（笛卡爾積）。,由兩個(gè)集合X和Y，各自的元素x?X，y?Y構(gòu)成序偶（x，y）的集合稱為集合X和Y的直積。,（2）二元關(guān)系,定義2-1,設(shè)X和Y是兩個(gè)非空集合，集合X和Y的直積X?Y的一個(gè)子集R稱為X到Y(jié)的一個(gè)二元關(guān)系（關(guān)系）。,X?Y的序偶（x，y），若有（x，y）?R，

6、記作xRy； 若有（x，y）?R，記作x y；,若X=Y，，直積X?Y的子集R稱為X上的二元關(guān)系。,（3）關(guān)系矩陣,二元關(guān)系R可用二維關(guān)系矩陣表示,設(shè),R是由X到Y(jié)的關(guān)系，則關(guān)系矩陣R的第i行第j列上的元素rij定義為,2. 等價(jià)關(guān)系,若X上的一個(gè)關(guān)系R同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性，則稱其為等價(jià)關(guān)系。,（1）自反關(guān)系,關(guān)系矩陣中的主對(duì)角元素均為1,（

7、2）對(duì)稱關(guān)系,關(guān)系矩陣中rij=rji,（3）傳遞關(guān)系,關(guān)系矩陣中,同時(shí)具有自反、對(duì)稱、傳遞性的關(guān)系,3. 映射關(guān)系,概念,設(shè)X和Y為兩個(gè)不同的集合，對(duì)于?x?X，都存在唯一確定的y ?Y，則稱關(guān)系R為從X到Y(jié)的一個(gè)映射,,對(duì)于?x?X，均有對(duì)應(yīng)的y ?Y；,是兩個(gè)集合X和Y的關(guān)系；,對(duì)于每一個(gè)x?X，都存在唯一確定的y ?Y與之對(duì)應(yīng)。,表示,對(duì)于元素,f,對(duì)于集合,f,隸屬度,天氣冷熱,雨的大小,風(fēng)的強(qiáng)弱,人的胖瘦,年齡大小,個(gè)子高低

8、,,2.3.1 模糊集合的定義及表示方法,1. 模糊集合的定義,定義2－2 模糊集合,論域U上的模糊集合F是指，對(duì)于論域U中的任意元素u?U，都指定了[0，1]閉區(qū)間中的某個(gè)數(shù)?F(u) ? [0，1]與之對(duì)應(yīng)，稱為u對(duì)F的隸屬度，通常表示為,,定義一個(gè)映射?F：,該映射稱為模糊集合F的隸屬度函數(shù)。,,F,上述定義表明：,（1）論域U上的模糊集合F由隸屬度函數(shù)?F(u) 來(lái)表征；,（2）?F(u) 取值范圍為閉區(qū)間[0，1] ；,（3

9、）?F(u) 的大小反映了u對(duì)于模糊集合F的從屬程度。,?F(u) 的值接近1，表示u從屬于模糊集合F的程度很高，,?F(u) 的值接近0，表示u從屬于模糊集合F的程度很低。,模糊集合F完全由隸屬度函數(shù)所描述。,以“年輕、中年、年老”為例說(shuō)明模糊集合和隸屬度函數(shù)的概念。,年輕－A，中年－B，年老－C,他們的論域U都是[1,100],規(guī)定隸屬度函數(shù)為?A(u)、 ?B(u)、 ?C(u),定義2－3 支集,模糊集合F的支集S是一個(gè)普通集

10、合，它是由論域U中滿足?F(u)>0的所有的u組成的。,定義2－4 模糊單點(diǎn),如果模糊集合F的支集在論域U上只包含一個(gè)點(diǎn)u0，且?F(u0)＝1，則F就稱為模糊單點(diǎn)。,2. 模糊集合的表示方式,（1）當(dāng)論域U為離散有限集?u1，u2，…，un?時(shí)，,1）扎德表示法,[例2－1],用扎德法在論域U＝?1，2，3，4，5，6，7，8，9，10?中討論“幾個(gè)”這一模糊概念。,[解],用支集在論域U＝?1，2，3，4，5，6，7，8，9

11、，10?中討論“幾個(gè)”這一模糊概念？,2）序偶表示法,將論域U中的元素ui與其隸屬度F(ui)構(gòu)成序偶來(lái)表示F，則：,[例2－2],用序偶法在論域U＝?1，2，3，4，5，6，7，8，9，10?中討論“幾個(gè)”這一模糊概念。,[解],3）向量表示法,將論域U中的隸屬度F(ui)用來(lái)表示模糊集合F，則：,注意！,式中向量的順序不能顛倒，隸屬度為0的項(xiàng)也不能省略。,[例2－3],用向量法在論域U＝?1，2，3，4，5，6，7，8，9，10?中

12、討論“幾個(gè)”這一模糊概念。,將三種方法綜合,（2）當(dāng)論域U為離散無(wú)限域時(shí),1）可數(shù)情況：扎德表示法,其中U=?u1，u2，…，un，…，?，,?F(ui)＝F(ui),2）不可數(shù)情況：扎德表示法,（3）當(dāng)論域U為連續(xù)域時(shí)，扎德表示法,[例2－4],以年齡為論域，設(shè)U＝[0,200]，扎德給出了“年老”O(jiān)與“年輕”Y兩個(gè)模糊集合的隸屬度函數(shù),[解],采用扎德表示法,2.3.2 模糊集合的運(yùn)算及性質(zhì),1. 模糊集合運(yùn)算,(1)模糊集合的相

13、等,兩個(gè)模糊集合A和B，若對(duì)所有元素u?U，均有?A(u)＝ ?B(u) ，則稱模糊集合A與模糊集合B相等。,(2)模糊集合的包含,兩個(gè)模糊集合A和B，若對(duì)所有元素u?U，均有?A(u)??B(u) ，則稱模糊集合A包含于模糊集合B，或A是B的子集。,(3) 模糊空集,對(duì)所有的元素u?U，均有?A(u)＝ 0 ，則稱模糊集合A為模糊空集。,(4) 模糊全集,對(duì)所有的元素u?U，均有?A(u)＝1 ，則稱模糊集合A為模糊全集。,(5)模糊

14、集合的補(bǔ)集,兩個(gè)模糊集合A和B，若對(duì)所有元素u?U，均有?B(u)=1－?A(u) ，則稱B為A的補(bǔ)集。,(6) 模糊集合的并集,三個(gè)模糊集合A、B、C，若對(duì)所有元素u?U，均有?C(u)＝ ?A(u)? ?B(u) ＝max[?A(u), ?B(u) ]，則稱C為A與B的并集。C=A∪B,(7) 模糊集合的交集,三個(gè)模糊集合A、B、C，若對(duì)所有元素u?U，均有?C(u)＝ ?A(u)? ?B(u) ＝min[?A(u), ?B(u)

15、]，則稱C為A與B的交集。C=A∩B,當(dāng)論域U是連續(xù)有限域時(shí)，模糊集合A和B的交、并、補(bǔ)集可以直接寫(xiě)成：,[例2－5],設(shè)論域U＝[爺、奶、爸、媽]，有模糊集合,A=“男人”＝1/爺＋0/奶＋1/爸＋0/媽,B=“年輕”＝0.1/爺＋0.2/奶＋0.9/爸＋1/媽,求：A∩B＝“年輕的男人”,A∪B＝“或者年輕或者是男人”,AC＝“不是男人”,[解],A∩B＝“年輕的男人”= 0.1/爺＋0/奶＋0.9/爸＋0/媽,A∪B＝“或者年輕或

16、者是男人”= 1/爺＋0.2/奶＋1/爸＋1/媽,AC＝“不是男人”=“女人”＝0/爺＋1/奶＋0/爸＋1/媽,,,,[例2－6]設(shè)論域U={a, b, c, d, e}上有兩個(gè)模糊集分別為：,求：,,,2. 模糊集合中的代數(shù)運(yùn)算,設(shè)論域U上兩個(gè)模糊集合A和B，可以由模糊隸屬度函數(shù)進(jìn)行定義：,(1) 代數(shù)積,A·B? ?A·B(u)＝?A(u)?B(u),(2)代數(shù)和,A+B? ?A+B(u)＝?A(u)＋?B(u

17、)－?A(u)?B(u),(3)有界和,A?B? ? A?B (u)＝[?A(u)＋?B(u) ]?1,(4) 有界差,(5)有界積,A?B ?? A?B (u)＝[?A(u)＋?B(u)－1]?0,,,,3. 模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì),2.3.3 隸屬度函數(shù),1. 隸屬函數(shù),經(jīng)典集合的特征函數(shù)只能取0和1兩種值，與二值邏輯相對(duì)應(yīng)。模糊集合的特征函數(shù)取值范圍從{0，1}集合擴(kuò)大到[0，1]區(qū)間 ，與連續(xù)邏輯相對(duì)應(yīng)。,2. 確定隸屬函

18、數(shù)的原則,表示隸屬函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合,從最大隸屬度函數(shù)點(diǎn)向兩邊延伸時(shí),其隸屬函數(shù)的值必須是單調(diào)遞減的,而不允許有波浪形。,變量所取隸屬度函數(shù)通常是對(duì)稱的、平衡的,隸屬度函數(shù)要符合人們的語(yǔ)義順序，避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,附近隸屬函數(shù)的范圍,重疊范圍,L,U,A1,A2,x,?,?,1.0,0,0,0.5,1.0,32,很高,適中,高,交叉越界的隸屬函數(shù)示意圖,重疊指數(shù)的定義,

19、速度/km.h-1,論域中的每個(gè)點(diǎn)應(yīng)該至少屬于一個(gè)隸屬函數(shù)的區(qū)域，同時(shí)，它一般應(yīng)該屬于至多不超過(guò)兩個(gè)隸屬函數(shù)的區(qū)域。,對(duì)同一個(gè)點(diǎn)沒(méi)有兩個(gè)隸屬函數(shù)會(huì)同時(shí)有最大隸屬度。,當(dāng)兩個(gè)隸屬函數(shù)重疊時(shí)，重疊部分的任何點(diǎn)的隸屬函數(shù)的和應(yīng)該小于1。,重疊率＝重疊范圍/附近模糊隸屬函數(shù)的范圍,重疊魯棒性＝總的重疊面積/總的重疊最大面積,通常的方法是，初步確立粗略的隸屬函數(shù)，然后通過(guò)“學(xué)習(xí)”和不斷的實(shí)踐來(lái)修整、完善。,3. 確定隸屬函數(shù)的方法,隸屬函數(shù)是模

20、糊集合論的基礎(chǔ),如何確定隸屬函數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。由于模糊理論的研究對(duì)象具有”模糊性”和經(jīng)驗(yàn)性,因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計(jì)算方法是不現(xiàn)實(shí)的.,(1)主觀經(jīng)驗(yàn)法 當(dāng)論域?yàn)殡x散論域時(shí)，可根據(jù)主觀認(rèn)識(shí)，結(jié)合個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)分析和推理，直接給出隸屬度。這種方法比較簡(jiǎn)單，人們利用專家或者熟練技工的經(jīng)驗(yàn)來(lái)建立隸屬函數(shù)。例如可變模糊溫度的隸屬函數(shù)可以選擇三角形函數(shù) 。,(2)模糊統(tǒng)計(jì)法 根據(jù)所提出的模糊概念進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，提

21、出與之對(duì)應(yīng)的模糊集A，通過(guò)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，確定不同元素隸屬于A的程度。,對(duì)模糊集A的隸屬度 =,其基本思想是：論域U上的一個(gè)確定的元素u0是否屬于一個(gè)可變動(dòng)的清晰集合Aλ，作出清晰的判斷。,隨著N的增大，隸屬頻率會(huì)趨向穩(wěn)定，這個(gè)穩(wěn)定值就是u0對(duì)A的隸屬度。,通常，?和?都服從正態(tài)分布,(3) 三分法 建立“矮個(gè)子”，“中等個(gè)子”和“高個(gè)子”三個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)。取論域U =（0，3）（單位：米），每一個(gè)模糊試驗(yàn)確定論域的一次劃分

22、，每次劃分確定一對(duì)數(shù)(?，?)，?是矮個(gè)子與中等個(gè)子的分界點(diǎn)，?是中等個(gè)子與高個(gè)子的分界點(diǎn)。,4. 模糊控制中典型的隸屬函數(shù),(1)高斯型隸屬函數(shù) 由參數(shù)?和c確定,其中參數(shù)?通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。,(2) 廣義鐘型隸屬函數(shù) 廣義鐘型隸屬函數(shù)由三個(gè)參數(shù)a，b，c確定：,其中參數(shù)b通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。,Matlab表示為,(3) S形隸屬函數(shù) S形函數(shù)sigmf(x,

23、[a c])由參數(shù)a和c決定：,其中參數(shù)a的正負(fù)符號(hào)決定了S形隸屬函數(shù)的開(kāi)口朝左或朝右，用來(lái)表示“正大”或“負(fù)大”的概念。,Matlab表示為,（4）梯形隸屬函數(shù) 梯形曲線可由四個(gè)參數(shù)a，b，c，d確定。,其中參數(shù)a和d確定梯形的“腳”，而參數(shù)b和c確定梯形的“肩膀”。,Matlab表示為,(5)三角形隸屬函數(shù) 三角形曲線的形狀由三個(gè)參數(shù)a，b，c確定：,其中參數(shù)a和c確定三角形的“腳”，而參數(shù)b確定三角形的

24、“峰”。,Matlab表示為,（6）Z形隸屬函數(shù) 這是基于樣條函數(shù)的曲線，因其呈現(xiàn)Z形狀而得名。參數(shù)a和b確定了曲線的形狀。,Matlab表示為,普通關(guān)系表示事物（元素）間是否存在關(guān)聯(lián)。,模糊關(guān)系則描述事物（元素）間對(duì)于某一模糊概念上的關(guān)聯(lián)程度。,1. 模糊關(guān)系的定義,定義2－5 集合的直積,由兩個(gè)集合U與V的各自元素u?U及v?V構(gòu)成的序偶（u，v）的集合，稱為U與V的直積。(笛卡爾積),注意！,定義2－6 模糊關(guān)系,由

25、兩個(gè)非空集合U與V之間的直積U×V={(u,v)|u?U, v?V}中的模糊集合R被稱為U到V的模糊關(guān)系，又稱為二元關(guān)系。其特性可由隸屬度函數(shù)來(lái)描述。,隸屬度函數(shù)?R(u,v)表示序偶(u,v) 的隸屬程度，也描述了(u,v)間具有關(guān)系R的量級(jí)。,在論域U=V時(shí)，稱R為U上的模糊關(guān)系。,當(dāng)論域?yàn)閚個(gè)集合Ui(i=1,2,…,n)的直積U1×U2×…× Un時(shí)，它們所對(duì)應(yīng)的模糊關(guān)系R被稱為n元模糊關(guān)

26、系。,[例2－7]醫(yī)學(xué)上用體重(kg)＝身高(cm)－100表示人的標(biāo)準(zhǔn)體重，這是身高U與體重V的二元關(guān)系。,設(shè)：U=[140,150,160,170,180],V=[40,50,60,70,80],R表示身高和體重接近標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系的程度，這是從U到V的一個(gè)模糊關(guān)系。,（1）當(dāng)X×Y為連續(xù)有限域時(shí)，二元模糊關(guān)系R的模糊集合表示方法為,n元模糊關(guān)系R的模糊集合表示方法為,在u?[140,160]、v?[40,50]時(shí)，用模糊集合表示

27、為,2. 模糊關(guān)系表示方法,（2）模糊矩陣表示法,當(dāng) 是有限集合時(shí)，X×Y的模糊關(guān)系R可用m×n階矩陣表示。,在u?[140,180]、v?[40,80]時(shí)，用模糊矩陣表示為,（3）模糊圖表示法,[例2－8] 設(shè)模糊關(guān)系R用模糊矩陣表示為,模糊關(guān)系圖,模糊流通圖,[例2－9]設(shè)有一組同學(xué)X，X={張三，李四，王五}，他們的功課

28、為Y，Y={英語(yǔ)，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)}。他們的考試成績(jī)?nèi)缦卤恚?取隸屬函數(shù) ，其中u為成績(jī)。如果將他們的成績(jī)轉(zhuǎn)化為隸屬度，則構(gòu)成一個(gè)X×Y上的一個(gè)模糊關(guān)系R。,寫(xiě)成矩陣形式：,考試成績(jī)表的模糊化,用關(guān)系圖來(lái)表示：,3. 模糊關(guān)系的合成,兩種模糊關(guān)系可以組成一種合成關(guān)系。,定義2－7 模糊關(guān)系的合成,設(shè)有三個(gè)論域U、V、W，Q是U到V的一個(gè)模糊關(guān)系，R是V到W的一個(gè)模糊關(guān)系，Q對(duì)R的合成QοR稱為

29、U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，其算法為：,當(dāng)論域U、V、W，為有限時(shí)，模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成表示。假設(shè)Q、R、S三個(gè)模糊關(guān)系對(duì)應(yīng)的模糊矩陣分別為：,用模糊矩陣的合成QοR＝S表示模糊關(guān)系的合成QοR＝S,[例2－10]設(shè),則A和B的合成為：,其中,⑴ QοR＝S表示模糊關(guān)系的合成，式中的“ο”表示最大－最小運(yùn)算。,⑵運(yùn)算中，Q的列數(shù)與R的行數(shù)必須相同，否則，合成運(yùn)算無(wú)意義。,⑶不能用模糊矩陣表達(dá)的模糊關(guān)系也可以進(jìn)行合成運(yùn)算，并且遵照最

30、大、最小原則。,設(shè)R、S為X×Y和Y×Z上的模糊關(guān)系，不能用矩陣表示時(shí)，其隸屬度函數(shù)為?R(x,y)及?S(y,z)，則RοS的隸屬度函數(shù)為：,注意,定義2－8 設(shè)R?U×V，S?V×W，T?W×Z，則模糊矩陣合成具有下列性質(zhì)：,⑴結(jié)合律 Rο(SοT)＝ (RοS)οT,⑵分配律 Rο(S∪T)＝ (RοS)∪(RοT) (S∪T) ο R

31、 ＝ (S ο R)∪(T ο R) Rο(S∩T)＝ (RοS)∩(RοT) (S∩T) ο R ＝ (S ο R)∩(T ο R),⑶包含 若S ? T，則 RοS ? RοT,⑷逆 (RοS) T ＝ ST ο RT,⑸ RοE＝E ο R＝R,⑹ Rο0＝0 ο R＝0,⑺Rm+1＝RmοR，Rmο Rn＝Rm+

32、n，(Rm)n=Rmn，R0＝E,定義2－9 模糊向量的笛卡兒積,設(shè)已知兩個(gè)模糊行向量Q和R，它們的笛卡爾積定義為,[例2－11],兩個(gè)模糊行向量Q=[0.3 0.1 0.5]和R=[0.8 0.5 0.2 0.6]，求它們的笛卡爾積,[解],1. 模糊語(yǔ)言變量,帶有模糊性的語(yǔ)言稱為模糊語(yǔ)言，模糊性主要體現(xiàn)在語(yǔ)音、語(yǔ)義、語(yǔ)法等方面。,語(yǔ)言變量是由五元體(U，N，T(N)， G，M)定義的。,N—語(yǔ)言變量的名稱,U—是N的論域,T(N)

33、—語(yǔ)言變量N的語(yǔ)言值X的集合,G—語(yǔ)法規(guī)則,M—語(yǔ)義規(guī)則,2. 語(yǔ)言值,語(yǔ)言系統(tǒng)中，與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，或者由它們?cè)偌由险Z(yǔ)言算子而派生出來(lái)的詞組稱為語(yǔ)言值。,以年齡為語(yǔ)言變量的五元體結(jié)構(gòu)圖,3. 語(yǔ)法規(guī)則,語(yǔ)法規(guī)則G包括語(yǔ)言算子—語(yǔ)言系統(tǒng)中的一類前綴詞。,(1)語(yǔ)氣算子Hλ－用于加強(qiáng)或減弱語(yǔ)氣的詞。用來(lái)加強(qiáng)語(yǔ)氣的為“強(qiáng)化算子”，用來(lái)減弱語(yǔ)氣的稱為“淡化算子”。,HλT(n)=[T(n)]λ,λ為正實(shí)數(shù)，λ＞1時(shí)，Hλ為強(qiáng)化算子；

34、λ＜1時(shí)，Hλ為淡化算子。,(2)模糊化算子－用來(lái)使語(yǔ)言中某些具有清晰概念的單詞或詞組的詞義模糊化。,(3)判斷化算子Pa －用來(lái)化模糊為趨向清晰，在模糊中給以粗糙的判斷。一般表示形式為,PaT(n)=Pa[T(n)],當(dāng)n≤a當(dāng)a＜n≤1-a (0＜a≤0.5)當(dāng)n＞1-a,4. 模糊命題,模糊命題指含有模糊概念，具有某種真實(shí)程度的陳述句。表征模糊命題真實(shí)程度的量叫模糊命題的真值。一般形式為,P：“x是A（ x is A ）”,其

35、中x是對(duì)象名稱，A是論域U上的一個(gè)模糊子集。,模糊命題的真值，由x對(duì)模糊集合A的隸屬程度表示,(1)簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句,if A then B,A表示x是a，,B表示y是b ，,若x是a，則y是b，其中x、y均為語(yǔ)言變量，a、b分別為語(yǔ)言變量的值。,(2)多重簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句,if A then B elsc C,(3)雙重模糊條件語(yǔ)句,if A and B then C,根據(jù)已知條件求未知結(jié)果的思維過(guò)程就是推理。解決模糊性問(wèn)題就需要用模

36、糊推理。,模糊推理是一種以模糊判斷為前提，運(yùn)用模糊語(yǔ)言規(guī)則，推出一個(gè)新的近似的模糊判斷結(jié)論的方法。,1. 基本概念,給定模糊關(guān)系“若A則B”, A?X，B?Y，已知某一個(gè)A′，A′?X，求從模糊關(guān)系能推斷出什么樣的結(jié)論B′？,廣義取式(肯定前提)推理,廣義拒式(肯定結(jié)論)推理,給定模糊關(guān)系“若A則B”，A?X，B?Y，已知某一個(gè)B′，B′?Y，求從模糊關(guān)系能推斷出什么樣的結(jié)論A′？,2. 模糊推理規(guī)則,廣義取式推理：,大前提：如果x為A

37、，則y為B 小前提：x為A′結(jié)論： y為B′,廣義拒式推理：,前提１： y為B′前提２：如果x為A，則y為B結(jié)論： x為A′,B’＝ A’o R,A’＝ R o B’,R如何得到,(1) Zadeh法,設(shè)模糊控制規(guī)則（模糊蘊(yùn)含關(guān)系)“若A則B”用A→B表示，且A?X，B?Y，則A→B是X×Y上的一個(gè)模糊關(guān)系，即：,(A→B)(x,y)≡R(x,y)?X×Y,R(x,y)=(A(x)?B(y))?(1

38、- A(x)),,1)模糊取式推理（Fuzzy Modus Ponens FMP）,已知模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的關(guān)系矩陣R，對(duì)于給定的A’，A’?X，則可推得結(jié)論B’，B’?Y，,B’＝ A’o R,“o”表示合成運(yùn)算,B’＝sup{A’∧[(A∧B)∨(１－A)]},2)模糊拒式推理（Fuzzy Modus Tollens, FMT）,已知模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的關(guān)系矩陣R，對(duì)于給定的B’，B’?Y，則可推得結(jié)論A’，A’?X，,A’＝ R

39、o B’,A’＝sup{[A∧B∨(１－A)]∧B’},,(2) Mamdani法,模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B用A和B的直積表示,(A→B)(x,y)≡R(x,y)?X×Y,R(x,y)=A(x)∧B(y),1)模糊取式推理（FMP）,已知模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的關(guān)系矩陣R，對(duì)于給定的A’，A’?X，則可推得結(jié)論B’，B’?Y，,B’＝sup{A’∧(A ∧ B)},2)模糊拒取式推理（FMT）,已知模糊蘊(yùn)含關(guān)系A(chǔ)→B的關(guān)系矩陣R，對(duì)于給

40、定的B’，B’?Y，則可推得結(jié)論A’，A’?X，,A’＝sup{(A ∧ B)∧B’},3. 模糊條件推理,設(shè)A為論域X上的模糊集合，B和C分別為論域Y上的2個(gè)模糊集合，其對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)為?A(x)、 ?B(y)、 ?C(y)，,在X×Y上描述模糊條件語(yǔ)句“if x is A then y is B elsc y is C”的二元模糊關(guān)系R＝(A→B)∪(Ac→C),用mamdani法定義其隸屬函數(shù)為,可用模糊向量的笛卡爾積表

41、示模糊關(guān)系R,R＝(A×B)∪(Ac×C),根據(jù)已知的輸入模糊集合A’及R，可求得與A’對(duì)應(yīng)的B’,B’＝A’οR,4. 雙輸入模糊推理,設(shè)A、B分別為論域X、Y上的模糊集合，C為論域Z上的模糊集合，其對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)為?A(x)、 ?B(y)、 ?C(z)，,在X×Y×Z上描述模糊條件語(yǔ)句“if x is A and y is B then z is C”的三元模糊關(guān)系R＝(A×B)→C

42、，即R＝A×B×C,用mamdani法定義其隸屬函數(shù)為,可用模糊向量的笛卡兒積表示模糊關(guān)系R,R＝(A×B)T1×C,根據(jù)已知的輸入模糊集合A’和B’及R，可求得與A’、B’對(duì)應(yīng)的C’,C’＝(A’×B’)T1οR,[例2－12],利用Zadeh法確定“若x小則y大”的模糊關(guān)系，當(dāng)x較小時(shí)，則y如何？,設(shè)論域X＝Y(jié)＝[1，2，3，4，5],?。?/1+0.5/2,較?。?/1+0.4/2

43、+0.2/3,大＝0.5/4+1/5,[例2－13],設(shè)x表示溫度，y表示壓力，利用Mamdani法確定“如果溫度高則壓力大”的模糊關(guān)系，當(dāng)溫度較高時(shí)，相應(yīng)的壓力如何？,設(shè)論域X＝[0,20,40,60,80,100]，Y[1,2,3,4,5,6,7],A＝溫度高＝0/0+0.1/20+0.3/40+0.6/60+0.85/80+1/100,B＝壓力大＝0/1+0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5+0.85/6+1/7,A’＝

44、溫度較高＝0.1/0+0.15/20+0.4/40+0.75/60+1/80+0.8/100,[例2－14],設(shè)x表示轉(zhuǎn)速，y表示控制電壓，利用Mamdani法確定“若轉(zhuǎn)速高，則控制電壓大，否則控制電壓不很大”的關(guān)系。現(xiàn)在轉(zhuǎn)速不很高，問(wèn)相應(yīng)的控制電壓如何？,設(shè)論域X＝[100,200,300,400,500]，Y＝[1,2,3,4,5],A＝轉(zhuǎn)速高＝0/100+0/200+0/300+0.5/400+1/500,B＝控制電壓大＝0/1+

45、0/2+0/3+0.5/4+1/5,[例2－15],已知論域X＝{x1,x2}，Y＝{y1,y2,y3}和Z＝ {z1,z2},設(shè)有模糊集合,A＝0.8/x1＋0.5/x2,B＝0.2/y1+0.5/y2+1/y3,C＝0.3/z1＋1/z2,確定由規(guī)則“if x is A and y is B then z is C”的三元模糊關(guān)系R。,計(jì)算當(dāng)輸入,A’＝0.6/x1＋0.1/x2,B’＝0.4/y1+0.2/y2+0/y3,時(shí)輸出的

46、C’,當(dāng)給定A’，A‘∈U，B’，B’∈V，則對(duì)應(yīng)的C’為,5. 多規(guī)則模糊推理,模糊控制系統(tǒng)的控制策略往往由多條規(guī)則組成,R1: if x is A1 and y is B1 then z is C1,R2: if x is A2 and y is B2 then z is C2,….,Rn: if x is An and y is Bn then z is Cn,總控制規(guī)則對(duì)應(yīng)的模糊關(guān)系R為,R＝ R1 ∪R2 ∪ …. ∪Rn