04-7-第7章-磁場的源-電磁學(xué)-大學(xué)物理-海南大學(xué)

1、第 7 章 磁場的源,一、比奧-薩伐爾定律二、安培環(huán)路定理三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布四、與變化電場相聯(lián)系的磁場五、平行電流間的相互作用力,,一、比奧-薩伐爾定律,1. 比奧-薩伐爾定律,1820年10月載流導(dǎo)線上任一電流元在真空中某點(diǎn) P 處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度,稱為真空中的磁導(dǎo)率,大?。?方向：,如圖所示,既垂直電流元 又垂直矢徑,一、比奧-薩伐爾定律,一、比奧-薩伐爾定律,電流元的磁場的磁感線是圓心在電流元軸線上的同心

2、圓。,疊加原理:,電流元的磁感應(yīng)線在垂直于電流元的平面內(nèi),磁感應(yīng)線繞向與電流流向成右手螺旋關(guān)系,是圓心在電流元軸線上的一系列同心圓,,一、比奧-薩伐爾定律,2. 磁通連續(xù)定理,磁場的磁感線都是閉合的曲線。,任何磁場中通過任意封閉曲面的磁通量總等于零。,不存在磁單極子或“磁荷” 。,,例1 長直電流的磁場,,·任取一電流元Idl，它 在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場大小為,方向如圖,,,·把直電流分為無數(shù)電流元,·本例中

3、，所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相同，于是P點(diǎn)B的大小為,一、比奧-薩伐爾定律,,?1 = 0 ；?2 = ? ，有,·利用r=a/sin?；l=-a cot?；dl=a d?/sin2?，可得,·特例：（1）對無限長直電流，,（3）場點(diǎn)在直電流延長線上,（2）半無限長載流導(dǎo)線,無限長載流直導(dǎo)線的磁場:,(因?yàn)?),半無限長載流直導(dǎo)線的磁場:,直導(dǎo)線延長線上一點(diǎn)的磁場:,(因?yàn)樵?

4、 中 ),一段載流直導(dǎo)線的磁場:,(因?yàn)?),有一邊長為L電阻均勻分布 的正三角形導(dǎo)線框abc，與電 源相連的長直導(dǎo)線1和2彼此

5、 平行并分別與導(dǎo)線框的a點(diǎn)和b點(diǎn)相連接，導(dǎo)線1和線框的ac的延長線重合，導(dǎo)線1和2的電流為I，如圖所示，令長直導(dǎo)線1、2和導(dǎo)線框在線框中心O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1、B2和B3，則O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。築=0，因?yàn)锽1= B2= B3=0。B=0，因?yàn)锽1+ B2=0，B3=0。B 0，因?yàn)殡m然B1+ B2=0，但B3 0。B 0，因?yàn)殡m然B3=0，但B1+ B2 0。,答案：,（4）,課堂

6、練習(xí),例2 圓電流軸線上任一點(diǎn)的磁場,x,圓電流的電流強(qiáng)度為I 半徑為R 建如圖所示的坐標(biāo)系 設(shè)圓電流在yz平面內(nèi)場點(diǎn)P坐標(biāo)為x,解：第一步：在圓電流上任取一電流元,由畢－薩定律 知其在場點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度,組成的平面,組成的平面內(nèi),（1）在圓心處,討論：,（2）在遠(yuǎn)離線圈處,載流線圈的磁矩,引入,載流圓線圈軸線上的磁場,例3. 載流直螺線管內(nèi)部的磁場,設(shè)螺線管的半徑為R，電流為I，每單位長度有線圈n匝。,由于每匝可作平

7、面線圈處理， ndl匝線圈可作Indl的一個(gè)圓電流，在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：,,討論：,實(shí)際上，L>>R時(shí)，螺線管內(nèi)部的磁場近似均勻，大小為,（1）螺線管無限長,（2）半無限長螺線管的端點(diǎn)圓心處,練習(xí)：如下列各圖示，求圓心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,,,例 一個(gè)半徑R為的塑料薄圓盤，電量+q均勻分布其上，圓盤以角速度?繞通過盤心并與盤面垂直的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,解：帶電圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)形成圓電流，取距盤心r處寬度

8、 為dr的圓環(huán)作圓電流，電流強(qiáng)度：,例　亥姆霍茲線圈在實(shí)驗(yàn)室中，常應(yīng)用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生所需的不太強(qiáng)的均勻磁場。特征是由一對相同半徑的同軸載流線圈組成，當(dāng)它們之間的距離等于它們的半徑時(shí)，試計(jì)算兩線圈中心處和軸線上中點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。從計(jì)算結(jié)果將看到，這時(shí)在兩線圈間軸線上中點(diǎn)附近的場強(qiáng)是近似均勻的。,解 設(shè)兩個(gè)線圈的半徑為R，各有N匝，每匝中的電流均為I，且流向相同（如圖）。兩線圈在軸線上各點(diǎn)的場強(qiáng)方向均沿軸線向右，在圓心O1、O2處磁感應(yīng)強(qiáng)

9、度相等，大小都是,,兩線圈間軸線上中點(diǎn)P處，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為,此外，在P點(diǎn)兩側(cè)各R/4處的O1、O2 兩點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度都等于,在線圈軸線上其他各點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值都介乎B0、BP 之間。由此可見，在P點(diǎn)附近軸線上的場強(qiáng)基本上是均勻的，其分布情況約如圖所示。圖中虛線是每個(gè)圓形載流線圈在軸線上所激發(fā)的場強(qiáng)分布，實(shí)線是代表兩線圈所激發(fā)場強(qiáng)的疊加曲線。,,例　在玻爾的氫原子模型中，電子繞原子核運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)圓電流，具有相應(yīng)的磁矩，稱為軌道磁矩

10、。試求軌道磁矩μ與軌道角動(dòng)量L之間的關(guān)系，并計(jì)算氫原子在基態(tài)時(shí)電子的軌道磁矩。,解 為簡單起見，設(shè)電子繞核作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑為r，轉(zhuǎn)速為n。電子的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)圓電流，電流的量值為I=ne，圓電流的面積為S=πr2，所以相應(yīng)的磁矩為,角動(dòng)量和磁矩的方向可分別按右手螺旋規(guī)則確定。因?yàn)殡娮舆\(yùn)動(dòng)方向與電流方向相反，所以L和μ的方向恰好相反，如圖所示。上式關(guān)系寫成矢量式為,這一經(jīng)典結(jié)論與量子理論導(dǎo)出的結(jié)果相符。由于電子的軌道角動(dòng)量是滿足量

11、子化條件的，在玻爾理論中，其量值等于（h/2π）d的整數(shù)倍。所以氫原子在基態(tài)時(shí)，其軌道磁矩為,它是軌道磁矩的最小單位（稱為玻爾磁子）。將e=1.602?10-19 C，me= 9.11?10-31kg ，普朗克常量h= 6.626?10-34J·s代入，可算得,原子中的電子除沿軌道運(yùn)動(dòng)外，還有自旋，電子的自旋是一種量子現(xiàn)象，它有自己的磁矩和角動(dòng)量，電子自旋磁矩的量值等于玻爾磁子。,,二、安培環(huán)路定理,1. 定理表述,在恒定電流

12、的磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任何閉合路徑一周的線積分（即環(huán)路積分），等于閉合路徑內(nèi)所包圍并穿過的電流的代數(shù)和的 ?0倍，而與路徑的形狀大小無關(guān)。,二、安培環(huán)路定理,空間所有恒定電流共同產(chǎn)生的,在磁場中任取的一閉合線，任意規(guī)定一個(gè)繞行方向,注意,L 上的任一線元,,二、安培環(huán)路定理,2. 特例驗(yàn)證,如圖，真空中有一載流無限長直導(dǎo)線，在垂直于電流 I 的平面上任取閉合路徑 L 為積分路徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流為,二、安培環(huán)路定理,當(dāng)電流反方向流動(dòng)時(shí)，

13、磁感應(yīng)強(qiáng)度反向，閉合路徑 L 的繞行方向與電流不構(gòu)成右螺，有,若I 在L外（L未包圍I）,二、安培環(huán)路定理,對非平面閉合路徑，r 和 dr 可以正交分解為平行于電流 I 分量和垂直于電流 I 的分量。,二、安培環(huán)路定理,其他情況,,二、安培環(huán)路定理,3. 注意事項(xiàng),只有環(huán)路內(nèi)的電流對環(huán)流有貢獻(xiàn)。,閉合路徑 L 上每一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是所有電流（包括閉合曲線外的）共同產(chǎn)生的。,安培環(huán)路定理是描述磁場特性的重要規(guī)律。磁場中的環(huán)流一般不等于零，

14、說明磁場屬于非保守場（稱為渦旋場）。,定理僅適用于穩(wěn)恒電流的穩(wěn)恒磁場。,,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,1. 利用安培環(huán)路定理求磁場的步驟,依據(jù)電流的對稱性分析磁場分布的對稱性；,依據(jù)磁場分布的對稱性選取合適的閉合路徑（又稱為安培環(huán)路），確保能使 B 以標(biāo)量的形式從積分號(hào)內(nèi)提出來。,安培環(huán)路定理的應(yīng)用舉例,例：求載流無限長圓柱面內(nèi)外的磁場。設(shè)圓柱面半徑為R，通有恒定電流I。,對稱性分析·將圓柱面分為無限,多窄條，每個(gè)窄

15、條可看作是載有電流dI的無限長直導(dǎo)線；·任取一對相對于圖中r對稱的窄條 、 ，它們在圖中P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場分別為,， 其合磁場dB垂直于r方向(且在垂直于軸線的平面內(nèi)，下同)；·P點(diǎn)的磁場就是所有這樣一對對的窄條形成的，所以P點(diǎn)的磁場B一定也垂直于r方向如圖。·由于圓柱面上電流分布的軸對稱性，可知柱面外任一點(diǎn)的B 均垂直于相應(yīng)的r方向；且距離軸線同遠(yuǎn)的場點(diǎn)，其B的大小相同。,載流

16、無限長圓柱面內(nèi)外的磁場,選合適的環(huán)路：由上分析知，應(yīng)選在垂直于軸線的平面內(nèi)的過P點(diǎn)的以r為半徑的圓形環(huán)路L，環(huán)路正方向如圖。計(jì)算,,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,2. 安培環(huán)路定理的應(yīng)用舉例,例.無限長載流圓柱形導(dǎo)體的磁場分布。設(shè)圓柱半徑為R，橫截面上均勻地通有總電流I，沿軸線流動(dòng)。求磁場分布。,解：由對稱性分析，圓柱體內(nèi)外空間的磁感應(yīng)線是一系列同軸圓周線。在平行與軸線的直線上各點(diǎn)的 B 相同。,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布

17、,（1）r > R,（2）r < R ,同理,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,討論若電流為面分布，即電流 I 均勻分布在圓柱面上，則由安培環(huán)路定理得空間的磁場分布為：,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,例2. 載流螺繞環(huán)的磁場分布。環(huán)形螺線管稱為螺繞環(huán)。設(shè)螺繞環(huán)軸線半徑為R，環(huán)上均勻密繞 N 匝線圈，通有電流 I。求環(huán)內(nèi)外磁場分布。,解：（1）環(huán)管內(nèi)環(huán)內(nèi)的 B 線為一系列與環(huán)同心的圓周線，在環(huán)內(nèi)任取一點(diǎn) P，取過 P

18、點(diǎn)作以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為 r 的圓周為積分回路L。,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,環(huán)管截面半徑《 R 時(shí),,其中 為螺繞環(huán)單位長度上的匝數(shù)。,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,（2）環(huán)管外,,L?,三、利用安培環(huán)路定理求磁場的分布,例3.無限大均勻平面電流的磁場分布。,,答案：,不變、變。,課堂練習(xí),,答案：,課堂練習(xí),包含電阻、電感線圈的電路,電流是連續(xù)的.,包含有電容的電流是否連續(xù),,四、與變化電場相聯(lián)系的磁

19、場,1. 問題,,,安培環(huán)路定理在恒定電流的情況下成立。,此時(shí)，電流與閉合回路鉸鏈。,在電流非穩(wěn)恒狀態(tài)下 , 安培環(huán)路定理是否正確 ?,對 面,對 面,電容器破壞了電路中傳導(dǎo)電流的連續(xù)性。,電容器上極板在充放電過程中，造成極板上電荷積累隨時(shí)間變化。,單位時(shí)間內(nèi)極板上電荷增加（或減少）等于通入（或流出）極板的電流,麥克斯韋把這種電流稱為位移電流。,變化的電場象傳導(dǎo)電流一樣能產(chǎn)生磁場，從產(chǎn)生磁場的角度看，變化的電場可以等效為一種

20、電流。,麥克斯韋認(rèn)為:變化的電場產(chǎn)生磁場。,位移電流的方向:,位移電流與傳導(dǎo)電流方向相同,定義,（位移電流密度）,(位移電流),,位移電流與傳導(dǎo)電流連接起來恰好構(gòu)成連續(xù)的閉合電流,在普遍情形下，全電流在空間永遠(yuǎn)是連續(xù)不中斷的，并且構(gòu)成閉合回路,四、與變化電場相聯(lián)系的磁場,全電流,,2. 普遍的安培環(huán)路定理,通過某一截面的全電流是通過這一截面的傳導(dǎo)電流、位移電流的代數(shù)和.,在任一時(shí)刻,電路中的全電流總是連續(xù)的.,僅有傳導(dǎo)電流存在時(shí)：,僅有

21、位移電流存在時(shí)：,位移電流和傳導(dǎo)電流同時(shí)存在時(shí)：,,位移電流 Id,全電流 I,,磁場由傳導(dǎo)電流和變化電場共同產(chǎn)生,稱推廣的或普遍的安培環(huán)路定理(全電流定律),四、與變化電場相聯(lián)系的磁場,位移電流密度 Jd,或,或,,,五、平行電流間的相互作用力,1. 對無限長平行載流直導(dǎo)線 1 和 2,電流 I1 在電流 I2 處產(chǎn)生的磁場為,同理,電流 I1 和電流 I2方向相同時(shí)，,兩導(dǎo)線相吸；相反時(shí)，則相斥。,單位長度載流導(dǎo)線受力,,五、平行

22、電流間的相互作用力,2. 電流的單位,規(guī)定: d = 1 m I1 = I2 同方向 F = 2 ? 10-7 N 時(shí)， I1 = I2= 1A,[例]求載流導(dǎo)線ab 在無限長載流直導(dǎo)線磁場中所受力,已知：I1、I2、d、L,電流元所受安培力如圖,方向向上,,五、平行電流間的相互作用力,3.電流秤,線圈C1、C2固定，活動(dòng)線圈CM吊在天平的一個(gè)盤下面，三個(gè)線圈通有相同的電流。天平的平衡由加減砝碼來調(diào)節(jié)。,電流秤用來校準(zhǔn)其它更