2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、第二章 簡單回歸模型,回歸的歷史含義F.加爾頓最先使用“回歸(regression)”。父母高,子女也高;父母矮,子女也矮。給定父母的身高,子女平均身高趨向于 “回歸”到全體人口的平均身高。,簡單回歸模型的定義,,,回歸的現(xiàn)代釋義,回歸分析用于研究一個變量關(guān)于另一個(些)變量的具體依賴關(guān)系的計算方法和理論。 關(guān)注對象:(1)用x來解釋y (2)研究y如何隨x而變化,商

2、品需求函數(shù):,警察和犯罪率:,除x外其他影響y的因素如何處理?y和x函數(shù)關(guān)系如何設(shè)定?,簡單回歸的幾個問題:,y=?0 + ?1 x + u,擾動項u的引入。x和y的非線性關(guān)系怎么辦?生產(chǎn)函數(shù):,兩個例子,yield=?0 + ?1 fertilizer + u,wage=?0 + ?1 educ + u,其他因素不變,?u=0,則: ?1 =?yield/?fertilizer ?

3、1 =?wage/?educ 變化解釋變量fertilizer或educ時,能假定其他因 素不變嗎?,解釋變量x和擾動項u關(guān)于均值獨立:均值獨立比“不相關(guān)”更強相關(guān)關(guān)系度量的是變量間的線性關(guān)系。若x表示受教育水平,u是個人能力,假定可能成立嗎?,關(guān)于u的假定,E(u|x)=E(u),對于模型: 如方程包含常數(shù)項,可以假定: 若E(u)=a?0,可將模型調(diào)整為:零條件均值假定:,y=?

4、0 + ?1 x + u,E(u)=0,y=?0 +a+?1 x + u1,E(u|x) = 0,總體回歸函數(shù)(PRF),E(y|x)=?0 + ?1 x,PRF是確定的,未知的,總體回歸函數(shù)(傳統(tǒng)思路),假想案例,總體回歸函數(shù)的隨機設(shè)定,隨機誤差項的意義,假設(shè)一個國家只有60戶居民,他們的可支配收入和消費支出數(shù)據(jù)如下(單位:美元):,假想案例,描出散點圖發(fā)現(xiàn):隨著收入的增加,消費“平均地說”也在增加,且Y的條件均值均落在一根正斜率的直

5、線上。這條直線稱為總體回歸線。,,E(Y|Xi) = ?0 + ?1Xi=17.00+0.6Xi,“天行有常,不為堯存,不為桀亡。應(yīng)之以治則吉,應(yīng)之以亂則兇?!?---荀子《天論》,E(Y|Xi) = ?0 + ?1Xi,總體回歸函數(shù),其中: Y——被解釋變量;,X——解釋變量;,?0,?1—回歸系數(shù)(待定系數(shù)或待估參數(shù)),總體回歸模型的隨機設(shè)定,對于某一個家庭,如何描述可支配

6、收入和消費支出的關(guān)系?,某個家庭的消費支出分為兩部分:一是E(Y|Xi)=?0 + ?1 Xi ,稱為系統(tǒng)成分或確定性成分;二是ui,稱為非系統(tǒng)或隨機性成分。,Yi=E(Y|Xi) + ui =?0 + ?1 Xi + ui,Yi=?0 + ?1 Xi + ui,E(Y|Xi) = ?0 + ?1 Xi,,隨機性總體回歸函數(shù),確定性總體回歸函數(shù),隨機誤差項u的意義,反映被忽略掉的因素對被解釋變量的影響。 或者理論不夠完善,或者數(shù)

7、據(jù)缺失;或者影 響輕微。模型設(shè)定誤差度量誤差 人類行為內(nèi)在的隨機性,普通最小二乘法,對于一元回歸模型: 兩個條件:兩個未知數(shù):所有的yi和xi都是已知數(shù)據(jù)。,E(u)=0,E(u|x) = 0?E(xu) = 0,yi=?0 + ?1 xi + ui,?0 和 ?1,方程組: 用樣本矩代替總體矩:,E(y-?0 - ?1 x) = E(u) = 0E[x(y-?0 - ?1 x)] = E(xu)

8、 = 0,,當滿足條件: OLS估計量 :,實際上就是y和x的樣本協(xié)方差與x的樣本方 差之比。,擬合值 : 給定截距和斜率估計值,y在x=xi時的預(yù)測值 該函數(shù)為樣本回歸函數(shù) (SRF)殘差 :,普通最小二乘法(傳統(tǒng)思路),如何得到一條能夠較好地反映這些點變化規(guī)律 的直線呢?,Q =,,,,=,,通過Q最小確定這條直線,即確定 ,以

9、 為變量,把它們看作是Q的函數(shù),就變成了一個求極值的問題,可以通過求導數(shù)得到。,,,,殘差的平方和最小,,,,,求Q對 兩個待估參數(shù) 的偏導數(shù):,,,,,即,樣本回歸函數(shù),為研究總體,我們需要抽取一定的樣本。,第一個樣本,樣本回歸線,樣本均值連線,樣本回歸函數(shù),第二個樣本,樣本回歸線,樣本均值連線,總體回歸模型和樣本回歸模型的比較,幾個例子,首席執(zhí)行官的薪水和股本回報率?,工資和受教育程度投票結(jié)果與競選支出:,,Xi,y

10、i,y1,y2,y3,u1,u2,u3,,,,,,,,E(y|xi) = ?0 + ?1 xi,注意:分清幾個關(guān)系式和表示符號,(2)樣本(估計的)回歸直線:,(3)總體(真實的)回歸模型:,(4)樣本(估計的)回歸模型:,(1)總體(真實的)回歸直線:,ui——隨機誤差項 ——殘差項,OLS操作技巧,(1)殘差和及樣本均值都等于零,OLS估計量代數(shù)性質(zhì),=,=,(2)回歸元和殘差的樣本協(xié)方差為零,(3)

11、 總在OLS回歸線上,(4)擬合值 的樣本均值等于yi的樣本均值,(5)擬合值和殘差的樣本協(xié)方差為零,,,.,.,.,.,.,.,.,.,,,,,,,,,y,x,yi,,,,,xi,A,0,=,+,總離差 = 回歸差 + 殘差,回歸差:由樣本回歸直線解釋的部分 殘差:不能由樣本回歸直線解釋的部分,可以證明:,,離差平方和分解,總平方和 = 解釋平方和 + 殘差平方和 SST

12、= SSE + SSR,=,+,利用性質(zhì)(1)和性質(zhì)(5):,+,= 1,解釋平方(SSE)和在總平方和(SST)中所占的比重越大,說明樣本回歸模型對樣本數(shù)據(jù)擬合的程度越好。因此,用來表示擬合優(yōu)度的可決系數(shù)定義為:,R2,,,,,R2 的取值范圍是 [0,1]。對于一組數(shù)據(jù),TSS是不變,所以ESS↑(↓),RSS↓(↑),擬合優(yōu)度與判定系數(shù)(可決系數(shù)),R2=0時 表明解釋變量x與被解釋變量y之間不存在

13、線性關(guān)系;R2=1時 表明樣本回歸線與樣本值重合; 一般情況下,R2越接近1表示擬合程度越好,x對y的解釋能力越強;看似很低的R2值,并不意味著OLS回歸方程沒有用!,R2 =,=,=,=(R)2,度量單位和函數(shù)形式,改變度量單位對OLS估計量的影響,首席執(zhí)行官的薪水和股本回報率?,若salarydol=1000salary,即將薪水單位由千美元 調(diào)整為美元,模型估計結(jié)果為:,若股本回報率由百分比調(diào)整為小數(shù),即roed

14、oc=roe/100, 模型估計結(jié)果為:,若將薪水單位調(diào)整為美元,股本回報率調(diào)整為小數(shù), 模型估計結(jié)果?,判定系數(shù)R2為什么不變?,彈性度量:雙對數(shù)模型 yt = a xtb 兩側(cè)同取對數(shù),加入擾動項

15、: Lnyt = Lna + b Lnxt + ut 令a* = Lna,yt* = Lnyt,xt* = Lnxt,上式表示為 yt*= a* + bxt*+ utCobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù) Q = A L? K ?,模型的非線性,雙對數(shù)模型與線性模型的區(qū)別雙對數(shù)模型中斜率系數(shù)b為y對x的彈性

16、E: Lnyt = a* + b Lnxt + ut b=E=線性模型中斜率系數(shù)b為x 對y的邊際影響: yt =a + bxt + ut b=dy/dx 從而彈性E =(dy/dx)(x/y)=b(x/y)雙對數(shù)模型中彈性E是不變的,線性模型中彈性隨著x/y的變化而變化。,,增長率測度:半對數(shù)模型

17、 Lnyt = a+bxt+ut b反映x一單位變動導致y的相對變動:當x表示時間時,b為y的增長率。 令 yt = y0(1+r)t 兩側(cè)同時取對數(shù): Lnyt =Lny0 +tLn(1+r) 當r很小時, b=Ln(1

18、+r) ≈r,人力資本研究中,通常會使用半對數(shù)模型: 這里wage為工資收入,edu為受教育年限,ability為能力,work為工作經(jīng)驗。 引入work2是因為人們通常認為存在最優(yōu)工作年限! 半對數(shù)模型中,參數(shù)?1的含義為: ?1 = 如果使用線性模型,即被解釋變量為wage, 則參數(shù)?1的含義為,

19、線性—對數(shù)模型 yt = a + b Ln xt + ut (b>0) 家庭預(yù)算的截面研究中,一類支出y和收入x的關(guān)系。預(yù)算花費在這種商品之前,收入要達到一個確定的臨界水平e-a/b。而且支出隨著收入的增加而單調(diào)增加,但

20、其增長率遞減,該商品消費的邊際傾向(b/x)和彈性(b/y)都隨著收入增加而遞減。,,倒數(shù)模型 yt = a + b/xt + ut,菲利普斯曲線,恩格爾消費曲線,多項式模型:二次函數(shù): yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 交叉乘積項:yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + b3 x1tx2

21、t + ut,,,吸煙與肺癌,關(guān)于參數(shù)線性,而不是關(guān)于變量線性!可以通過變量替換,轉(zhuǎn)化為線性模型!,“線性”回歸的含義,OLS估計量的期望值和方差,高斯-馬爾可夫定理(參見P97),如果滿足古典線性回歸模型的基本假定,則在所有的線性估計量中,OLS估計量是最優(yōu)線性無偏估計量(BLUE)。,,線性性 無偏性 有效性,簡單回歸的高斯—馬爾科夫假定假定1:關(guān)于參數(shù)線性 y=?0 +

22、?1 x + u (1)假定2:隨機抽樣 有一個服從總體模型(1)的隨機樣本{(xi ,yi): i =1, 2, …, n},n為樣本容量假定3:解釋變量的樣本有變異 xi的樣本實現(xiàn)值,{xi : i =1, 2, …, n}不是完全相同的數(shù)值假定4:零條件均值 E(u|x)=0假定5:同方差性

23、 Var(u|x)=?2,線性性,可以表示為因變量數(shù)據(jù)yi的線性函數(shù)。,證明:,=,=,=,其中,=,線性估計量分布的推導比非線性估計量容易,無偏性,證明:,=,=,=,=,,,,,=?1,??1,無偏估計量,有偏估計量,,?1,=,OLS估計量的方差比其他線性無偏估計量的方差都小。,最小方差性與有效性,,,,?1,,,,一致性(參見P158),,,?1,,,,,,概率密度,OLS估計量的抽樣方差,為什

24、么要估計方差?,方差反映了數(shù)據(jù)的離散程度和估計結(jié)果的精確性。,受教育年限與每小時工資,,,?1,,,同方差,(遞增型)異方差,假定4:零條件均值 E(u|x)=0假定5:同方差性 Var(u|x)=?2,估計?0時,最好有 ,此時?0估計量的方差最小,但?1估計量的方差不受影響。 為什么?,?2的估計量(無偏):,擾動

25、項方差( ?2)的估計,OLS估計量的樣本方差和標準誤,當x=0時,y的期望值為零收入為零,收入稅所得為零木材砍伐量為零,木材剩余物為零模型形式: 殘差平方和最?。?過原點回歸,注意:對于過原點回歸: 標準的可決系數(shù)(R2)可能為負。如果真實情況下?0 ?0,使用過原點回歸模型會導致?1的 估計量有偏且不一致。如果?0 =0,使用含截距項的回歸模型,由于沒有利用

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