概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6

1、1.6.1 事件的獨(dú)立性,1.6 獨(dú)立實(shí)驗(yàn)概型,,,1.6.2 獨(dú)立實(shí)驗(yàn)概型,引例：,將一顆均勻骰子連擲兩次，,{第二次擲出3點(diǎn)}，,{第一次擲出6點(diǎn)}，,顯然，,在數(shù)學(xué)上，,可表述為：,其中,(1),同樣，如果,其中,(2),由乘法公式易見，,(1)式和(2)式,均等價(jià)于,(3),設(shè),均等價(jià)于,(3),均等價(jià)于,(3),時(shí)恒成立，,約.,從而可采用,獨(dú)立性.,完,一. 兩個(gè)事件的獨(dú)立性,直觀定義：事件 A 與 B 相互獨(dú)立

2、,是指其中任一事件發(fā)生的概率都不受另外一事件 發(fā)生的影響.,1.6.1、事件的獨(dú)立性,,2、獨(dú)立與互不相容的關(guān)系,注：1、 ? 和?與任何 事件A相互獨(dú)立.,3、獨(dú)立不具有“傳遞性”,,（二）性質(zhì),假設(shè)A與B相互獨(dú)立，,證,例1：甲, 乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 求敵機(jī)被擊中的概率.,解,設(shè) A={ 甲擊中敵機(jī) },B={ 乙擊中敵機(jī) },C={敵機(jī)被擊中 },依題設(shè),,= 0.8

3、,例2、（練習(xí)）：,伯恩斯坦反例,一個(gè)均勻的正四面體, 其第一面染成紅色,第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以 A , B, C 分別記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白, 黑顏色朝下的事件, 問 A,B,C是否相互獨(dú)立?,解,由于在四面體中紅, 白, 黑分別出現(xiàn)兩面,,因此,又由題意知,故有,則三事件 A, B, C 任意兩個(gè)都是相互獨(dú)立.,兩兩相互獨(dú)立,因而，在考慮涉及多個(gè)(>2，比如3

4、個(gè))事件的獨(dú)立性時(shí)，僅僅考慮任意兩個(gè)事件間的相互獨(dú)立性是不夠的，還得考慮：,任意兩個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一事件的影響,1. 三事件兩兩獨(dú)立的概念,,定義,二、多個(gè)事件的獨(dú)立性,2. 三事件相互獨(dú)立的概念,,例3 有八個(gè)內(nèi)部各裝有一張小紙條的外形完全相同的信封.在其中的一張紙條上寫2、4、6三個(gè)數(shù)字，在另兩張紙條上寫2、4兩個(gè)數(shù)字，余下的五張紙條上都只寫一個(gè)數(shù)字，其中三張寫6，一張寫4，一張寫2.從中任取一個(gè)信封，分別以A、B、C表示其中的紙條

5、上有數(shù)字2、4、6.試判斷事件 A、B、C是否相互獨(dú)立.,3. n 個(gè)事件的獨(dú)立性,定義,若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切 1 ≤i< j ≤n, 有,,,定義、 設(shè) A1，A2 ，… ，An為n 個(gè)事件，若對(duì)于任意k(2≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ··· < i k≤n,,4、相互獨(dú)立的性質(zhì),性質(zhì)2：,,設(shè)事件

6、 相互獨(dú)立,則,加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,,設(shè)第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,,假定各道工序是互不影響的,,求加工出來的,零件的次品率.,解,設(shè),為四道工序發(fā)生次品事件,,加工出來的零件為次品的事件,,為,分別是2%, 3%, 5%,,加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,,設(shè)第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,,假定各道工序是互不影響的,,求加工出來的,零件的次品率.,分別是2%, 3%, 5%,,

7、加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,,設(shè)第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,,假定各道工序是互不影響的,,求加工出來的,零件的次品率.,解,分別是2%, 3%, 5%,,完,如圖是一個(gè)串并聯(lián),的元件.,它們下方的數(shù)字,是它們各自正常工作的概率,,求電路系統(tǒng)的可靠性.,電路系統(tǒng).,都是電路中,解,因各元件獨(dú)立工,作,,故有,其中,如圖是一個(gè)串并聯(lián),的元件.,它們下方的數(shù)字,是它們各自正常工作的概率,,求電路系統(tǒng)的可靠性.,電路系統(tǒng).,都是電

8、路中,解,其中,如圖是一個(gè)串并聯(lián),的元件.,它們下方的數(shù)字,是它們各自正常工作的概率,,求電路系統(tǒng)的可靠性.,電路系統(tǒng).,都是電路中,解,其中,代入得,完,甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,,每局甲勝的概,率為,問對(duì)甲而言,,采用三局二勝制,有利,,還是采用五局三勝制有利,,設(shè)各局勝負(fù)相,互獨(dú)立.,解,采用三局二勝制,,甲最終獲勝,,其勝局的情,況是:,種結(jié)局互不相容,,而這三,于是由獨(dú)立性得,概率為,采用五局三勝制,,甲最終獲勝,,至少需比賽

9、 3 局,(可能賽 3 局,,也可能賽 4 局或 5 局),,“甲甲” 或 “乙甲甲” 或 “甲乙甲”.,甲最終獲勝的,甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,,每局甲勝的概,率為,問對(duì)甲而言,,采用三局二勝制,有利,,還是采用五局三勝制有利,,設(shè)各局勝負(fù)相,互獨(dú)立.,解,采用五局三勝制,,甲最終獲勝,,至少需比賽 3 局,(可能賽 3 局,,也可能賽 4 局或 5 局),,甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,,每局甲勝的概,率為,問對(duì)甲而言,,采用三局二勝制

10、,有利,,還是采用五局三勝制有利,,設(shè)各局勝負(fù)相,互獨(dú)立.,解,采用五局三勝制,,甲最終獲勝,,局,(可能賽 3 局,,也可能賽 4 局或 5 局),,至少需比賽 3,而前面甲需勝二局.,例如,,4 局,,則甲的勝局情況是:,“甲乙甲甲”,,甲”,,“甲甲乙甲”,,且這三種結(jié)局互不相容.,立性得甲最終獲勝的概率為,一局必需是甲勝,,且最后,共賽,“乙甲甲,由獨(dú),甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,,每局甲勝的概,率為,問對(duì)甲而言,,采用三局二勝制

11、,有利,,還是采用五局三勝制有利,,設(shè)各局勝負(fù)相,互獨(dú)立.,解,立性得甲最終獲勝的概率為,由獨(dú),甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,,每局甲勝的概,率為,問對(duì)甲而言,,采用三局二勝制,有利,,還是采用五局三勝制有利,,設(shè)各局勝負(fù)相,互獨(dú)立.,解,由獨(dú)立性得甲最終獲勝的概率為,于是,即對(duì)甲來說采用五局三勝,制較為有利;,種賽制,即兩,甲,乙最終獲勝的概率相同.,完,1.6.2、獨(dú)立實(shí)驗(yàn)概型,一. 基本概念,如果對(duì)于任意正整數(shù)n，n個(gè)試驗(yàn)E1,E2,

12、…En都是相互獨(dú)立的.,（1）n次試驗(yàn)相互獨(dú)立,（2）獨(dú)立試驗(yàn)序列,進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果任何一次實(shí)驗(yàn)中各種結(jié)果發(fā)生的概率都不受其他各次實(shí)驗(yàn)發(fā)生結(jié)果的影響。,（3）貝努利試驗(yàn),只有兩種對(duì)立結(jié)果的試驗(yàn),（4）n重貝努利實(shí)驗(yàn),實(shí)例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將 硬幣拋 n 次,就是n重伯努利試驗(yàn).,實(shí)例2 拋一顆骰子,觀察是否 “出現(xiàn) 1 點(diǎn)”, 拋擲n次就是 n重伯努利試驗(yàn).,實(shí)例3 一袋中有3個(gè)黑球和7個(gè)

13、白球，任取一球，觀察是否摸到黑球。有放回地取球n次，就是n重伯努利試驗(yàn),一般地，對(duì)于伯努利概型，有如下公式：,2. 二項(xiàng)概率公式,定理3,(伯努利定理),設(shè)在一次試驗(yàn)中，,事件,發(fā)生的概率為,試驗(yàn)中，,事件A恰好發(fā)生k次的概率為,證明,記“第i次試驗(yàn)中事件A發(fā)生”,這一事件為,則“事件A恰好發(fā)生k次”,(記作,),其中 是取遍 中的任意k個(gè)數(shù),是取走,其中

14、 是取遍 中的任意k個(gè)數(shù),是取走,其中 是取遍 中的任意k個(gè)數(shù),是取走,后剩下的你n-k個(gè)數(shù).,而對(duì)任意取出的,根據(jù)獨(dú)立性及,有,故有,證畢.,完,某種小樹移栽后的成活率為90%,,區(qū)移栽了20棵,,一居民小,求能成活18棵的概率.,解,觀察一棵小樹是否成活是隨機(jī)試驗(yàn),每棵小,樹只有“成活”,且,可以認(rèn)為,,小樹成活與否是

15、彼此獨(dú)立的,,因此觀察,20 棵小樹是否成活,設(shè)所求概率為,則由伯努利公式可得,努利試驗(yàn).,完,3. 等待概率公式,（1）如果共取10次,求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率,例8,（2）如果未取到黑球就一直取下去,直到取得黑球?yàn)橹?求恰好要取3次及至少要取3次的概率.,一個(gè)醫(yī)生知道某種疾病患者,為試驗(yàn)一種新藥是否有效,,把它給 10 個(gè)病,認(rèn)為這種藥有效,,且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四個(gè)治好,0.25,,人服用,

16、,反之則認(rèn)為無效,,求:,(1),(2),雖然新藥有效,,且把痊愈率提高到 0.35,,過試驗(yàn)卻被否定的概率.,但通,新藥完全無效,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概,率.,分析,將 10個(gè)病人服此藥視為 10次重復(fù)試驗(yàn),,每次試驗(yàn)中,,在,只有兩種可能結(jié)果:,此人痊愈或不痊,愈,,而且 10 人的痊愈與否彼此獨(dú)立,自然痊愈率為,則,求:,(1),(2),雖然新藥有效,,且把痊愈率提高到 0.35,,過試驗(yàn)卻被否定的概率.,但通,新藥完全無效

17、,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概,率.,分析,將 10個(gè)病人服此藥視為 10次重復(fù)試驗(yàn),,每次試驗(yàn)中,,在,只有兩種可能結(jié)果:,此人痊愈或不痊,愈,,而且 10 人的痊愈與否彼此獨(dú)立,求:,(1),(2),雖然新藥有效,,且把痊愈率提高到 0.35,,過試驗(yàn)卻被否定的概率.,但通,新藥完全無效,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概,率.,分析,將 10個(gè)病人服此藥視為 10次重復(fù)試驗(yàn),,每次試驗(yàn)中,,在,只有兩種可能結(jié)果:,此人痊愈或不痊,愈,,

18、而且 10 人的痊愈與否彼此獨(dú)立,(即使是傳染,病也是隔離治療的).,這樣,,本問題便可利用伯努,利概型解決.,解,(1),設(shè),“通過試驗(yàn)新藥被否定”,,則由題意,,求:,(1),(2),雖然新藥有效,,且把痊愈率提高到 0.35,,過試驗(yàn)卻被否定的概率.,但通,新藥完全無效,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概,率.,解,(1),設(shè),“通過試驗(yàn)新藥被否定”,,則由題意,,求:,(1),(2),雖然新藥有效,,且把痊愈率提高到 0.35,,過試

19、驗(yàn)卻被否定的概率.,但通,新藥完全無效,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概,率.,解,(1),設(shè),“通過試驗(yàn)新藥被否定”,,則由題意,,新藥有效,,痊愈率為 0.35,,從而,發(fā)生,注意:,當(dāng)且僅當(dāng)事件“10 人至多只有 3 人痊愈”發(fā),生.,依題意,,求:,(2),新藥完全無效,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概,率.,解,求:,(2),新藥完全無效,,但通過試驗(yàn)卻被認(rèn)為,有效的概率.,解,(2),設(shè),“通過試驗(yàn)判斷新藥有效”,,當(dāng)且僅當(dāng)事件“1