現(xiàn)代控制理論第三章4

1、第三章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性,3.5 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解和零極點相消一個系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控,意味著系統(tǒng)的部分狀態(tài)不能控,但也存在部分狀態(tài)能控。到底哪一部分狀態(tài)能控,哪一部分狀態(tài)不能控的問題,對于控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計和綜合,顯然是至關(guān)重要的。由前面的結(jié)論已知,系統(tǒng)的非奇異線性變換不改變能控性,那么是否存在線性變換后將系統(tǒng)的狀態(tài)變量中完全能控的部分和完全不能控的部分分離開來?對狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng),也存在類似的區(qū)分哪些狀態(tài)能

2、觀,哪些狀態(tài)不能觀的問題。,也存在能否基于線性變換將系統(tǒng)的完全能觀部分和完全不能觀部分分離開來?系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)能控性/能觀性問題是系統(tǒng)的兩個不變的結(jié)構(gòu)性問題,描述了系統(tǒng)的本質(zhì)特征的問題,它們與描述系統(tǒng)的輸入輸出特性的傳遞函數(shù)陣之間有何聯(lián)系?本節(jié)主要討論上述關(guān)于線性系統(tǒng)狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)性的2個問題,即:狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)性分解以及傳遞函數(shù)陣與能控性/能觀性的關(guān)系。,本節(jié)討論的主要問題:基本概念: 能控分解、能觀分解、能控

3、能觀分解、零極點相消基本方法: 能控分解、能觀分解、能控能觀分解、零極點相消判據(jù)本節(jié)講授順序為:能控性分解能觀性分解能控能觀分解系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的零極點相消定理,狀態(tài)不完全能控,其能控性矩陣的秩為rankQc=rank[B AB … An-1B]=nc<n則存在非奇異線性變換x=Pc ,使得狀態(tài)空間模型可變換成,3.5.1 能控性分解對狀態(tài)不完全能控的線性定常連續(xù)系統(tǒng),存在如下能控性結(jié)構(gòu)分解定理

4、。定理 若線性定常連續(xù)系統(tǒng),其中nc維子系統(tǒng),是狀態(tài)完全能控的。而n-nc維子系統(tǒng),是狀態(tài)完全不能控的。,,,的秩為nc 。,即Qc中任何的列都可以由這nc個線性無關(guān)列向量p1, p2,…, 線性表示。,于是從Qc中總可以找到nc個線性無關(guān)列向量p1,p2,…, ,這nc個列向量構(gòu)成能控性矩陣Qc的一組基底,,由于系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控,其能控性矩陣Qc=[B AB … An-1B],同樣,還可以找到n-

5、nc個線性無關(guān)向量 使如下線性變換矩陣:,為非奇異的。將變換矩陣Pc選作能控性分解的變換矩陣,則可以作變換x=Pc 。,其中q1,q2,…,qn為n維行向量。,設(shè)Pc的逆矩陣可以記成,由于p1,p2,…, 為從能控性矩陣Qc中挑出來的一組線性無關(guān)的列向量并且組成Qc的一組基底,則Ap1, Ap2,…, A ,亦屬于矩陣AQc中的一組列向量。,由于Pc-1Pc=I,因此,因此,

6、 Ap1, Ap2,…,A 都可由矩陣Qc的列線性表示出來,也必然可由Qc的基底p1,p2,…, 線性表示出來。,所以, 必然有qiApj=0 i?nc+1,j?nc,qiApj=0i?nc+1,j?nc,,由能控性矩陣Qc的定義可知,B矩陣的列也可由Qc的基底p1, p2,…, 線性表示出來。,當選擇變換矩陣為Pc時,系統(tǒng)可分解為狀態(tài)變量分別為 和 的兩個子系統(tǒng)。,顯然,以 為狀態(tài)變量的n-nc維

7、子系統(tǒng)是狀態(tài)完全不能控的。,因此,仿照上述證明,我們亦可證明得,,對于這種狀態(tài)的能控性結(jié)構(gòu)分解情況如下圖所示。,由于線性變換不改變系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣,所以有,因此,由上式可歸納出一結(jié)論:狀態(tài)不完全能控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能控性分解后能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。由于狀態(tài)不完全能控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,則其極點必少于n個,即系統(tǒng)存在零極點相消現(xiàn)象。,例 試求如下系統(tǒng)的能控子系統(tǒng):,解 由于,故該系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能控且

8、能控部分的維數(shù)為2。,,其中前兩列取自能控性矩陣Qc,后一列是任意選擇的但保證變換矩陣為非奇異的。該變換矩陣的逆矩陣為,為分解系統(tǒng),選擇變換矩陣,則能控子系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,經(jīng)變換所得的狀態(tài)空間模型的各矩陣為,,,狀態(tài)不完全能觀,其能觀性矩陣的秩為,3.5.2 能觀性分解類似于能控性分解,對狀態(tài)不完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng),有如下能觀性結(jié)構(gòu)分解定理。定理 若線性定常連續(xù)系統(tǒng),其中no維子系統(tǒng),是狀態(tài)完全能觀的。而n-no維子系

9、統(tǒng),是狀態(tài)完全不能觀的。,則存在非奇異線性變換x=Po ,使得狀態(tài)空間模型可變換為,,,其中前no個行向量q1,…, 為能觀性矩陣Qo的no個線性無關(guān)的行向量, ,…,qn為任意選擇的n-no個線性無關(guān)的行向量但必須使變換矩陣Po-1可逆。,定理中非奇異變換陣的構(gòu)造對能觀性分解,能將狀態(tài)不完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)進行能觀性分解的變換矩陣Po的逆陣可選為,定理表明:任何狀態(tài)不完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng),

10、總可通過線性變換將系統(tǒng)分解成完全能觀子系統(tǒng)和完全不能觀子系統(tǒng)兩部,且變換矩陣Po的逆陣Po-1前no行必須為能觀性矩陣Qo的no個線性無關(guān)的行或它的一組基底。對于這種狀態(tài)的能觀性結(jié)構(gòu)分解情況如下圖所示。,由于線性變換不改變系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣,所以,因此,由上式可歸納出一結(jié)論:狀態(tài)不完全能觀系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能觀性分解后能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。由于狀態(tài)不完全能觀系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,則其極點必少于n個,

11、即系統(tǒng)存在零極點相消現(xiàn)象。,例 試求如下系統(tǒng)的能觀子系統(tǒng):,解 由于,故該系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能觀且能觀部分的維數(shù)為2。,,為分解系統(tǒng),選擇變換矩陣,其中前兩行取自能觀性矩陣Qo,后一行是任意選擇的但保證變換矩陣為非奇異的。于是變換矩陣的逆矩陣為,經(jīng)變換所得的狀態(tài)空間模型的各矩陣為,則能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,,3.5.3 能控能觀分解對狀態(tài)不完全能控又不完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng),類似于能控性分解和能觀性分解過程構(gòu)造變換矩陣的方法,

12、可構(gòu)造系統(tǒng)的能控又能觀子空間、能控但不能觀子空間、不能控但能觀子空間以及不能控又不能觀子空間等4個子空間的基底,組成變換矩陣對系統(tǒng)作線性變換,將系統(tǒng)分解為4個子系統(tǒng),在一般情況下,能控能觀分解可以先對系統(tǒng)作能控分解后,再分別對能控和不能控子系統(tǒng)作能觀分解,可得到能控能觀分解的4個子系統(tǒng)。,能觀分解,即,系統(tǒng),,能控分解,能控子系統(tǒng),,,不能控子系統(tǒng),,能觀分解,,,,能控又能觀子系統(tǒng),能控但不能觀子系統(tǒng),不能控但能觀

13、子系統(tǒng),不能控又不能觀子系統(tǒng),,,關(guān)于系統(tǒng)能控能觀結(jié)構(gòu)分解有如下定理。,也可先作能觀分解,再作能控分解。分解結(jié)果與先能控分解后能觀分解的結(jié)果完全等價,能控能觀分解過程,狀態(tài)不完全能控又不完全能觀,則一定存在一個線性變換,使得變換后的狀態(tài)空間模型為:,定理 若線性定常連續(xù)系統(tǒng),,,,,,即系統(tǒng)可分解成如下四個子系統(tǒng):1. 能控但不能觀子系統(tǒng),2. 能控又能觀子系統(tǒng),3. 不能控又不能觀子系統(tǒng),4. 不能控但能觀子系統(tǒng),一般直接確定能控

14、能觀分解的變換陣Pco比較困難,一般情況下,可采取通過逐次能控、能觀分解過程中的變換陣確定。因此,能控能觀分解的變換陣Pco為式中,Pc為先進行的能控分解的變換陣；Pc,o和Pnc,o分別為對能控分解所得的能控與不能控子系統(tǒng)進行的能觀分解的變換陣。,,類似地,能控能觀分解的變換陣Pco也可為式中,Po為先進行的能觀分解的變換陣；Po,c和Pno,c分別為對能觀分解所得的能觀子系統(tǒng)和不能觀子系統(tǒng)進行的能控分解的變換陣。,

15、,例 已知系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀的,試將該系統(tǒng)按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。 解 (1) 先對系統(tǒng)進行能控分解。按照能控分解方法,可構(gòu)造能控分解矩陣為,,,經(jīng)變換后,系統(tǒng)按能控性分解為 由上式可見,不能控子空間僅1維且是能觀的,故無需再進行分解,為系統(tǒng)分解所得的不能控但能觀的子系統(tǒng)。,(2) 將如下能控子系統(tǒng)?c按能觀性進行分解。 按照能觀分解方法,可構(gòu)造能觀分解矩陣及其逆矩陣為則

16、可將能控子系統(tǒng)?c按能觀性分解為,,(3) 綜合以上兩次變換結(jié)果,系統(tǒng)按能控和能觀分解為表達式 式中,狀態(tài)空間分解為 所示的3個子空間:能控又能觀子系統(tǒng),能控但不能觀子系統(tǒng),不能控但能觀子系統(tǒng)；相應(yīng)的變換矩陣為,若按順序 排列分解后各子系統(tǒng)的狀態(tài)變量,則變換后的狀態(tài)方程可以變換為如定理所示的狀態(tài)方程。由

17、于線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,所以由變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可得如下傳遞函數(shù)陣,因此,由上式可歸納出一結(jié)論:狀態(tài)不完全能控又不完全能觀系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能控能觀分解后能控又能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。由于狀態(tài)不完全能觀系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于其能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,則其極點必少于n個,即系統(tǒng)存在零極點相消現(xiàn)象。由于系統(tǒng)不能控和不能觀測的部分,不會出現(xiàn)在傳遞函數(shù)中,所以,傳遞函數(shù)僅是系統(tǒng)的部分描述。而狀態(tài)空間描述則既包含能控、

18、能觀測部分,也包含不能控、不能觀測部分,所以是系統(tǒng)的完全描述。,3.5.4 系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的零極點相消由上述系統(tǒng)的三種結(jié)構(gòu)分解可知,對狀態(tài)不完全能控或不完全能觀的系統(tǒng),其傳遞函數(shù)陣等于分解后能控能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,其極點數(shù)少于原系統(tǒng)狀態(tài)變量的個數(shù)n,即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣中存在零極點相消現(xiàn)象。究竟狀態(tài)空間模型的狀態(tài)能控性與能觀性與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣之間有何關(guān)系?,定理 SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的傳遞函數(shù)中沒有零極點相

19、消的充要條件為,該表達式的狀態(tài)既完全能控又完全能觀。但對于多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)陣沒有零極點對消，只是系統(tǒng)能控能觀的充分條件。,例1 試判別下列系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中是否有零極點相消:,解 系統(tǒng)的能控性矩陣為,其秩為1,則系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的。所以,由定理知,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中必存在零極點相消現(xiàn)象。,,,容易驗證,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)降了1階,即傳遞函數(shù)中對消了一個極點和零點。,(a),(b),(c),見書例：,例2：,存在