《數(shù)學(xué)史》從劉徽到祖沖之

1、中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。,劉徽,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,趙爽是中國古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補(bǔ)充的“勾股

2、圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,劉徽約與趙爽同時(shí)，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時(shí)期名家和墨家的思想，主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密，利于讀者。

3、他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)

4、展,東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們?cè)趧⒒兆ⅰ毒耪滤阈g(shù)》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,據(jù)推測(cè)，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個(gè)結(jié)果。他又用新

5、的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久；,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個(gè)公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,隋煬帝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，

6、主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉庫和地窖的計(jì)算問題，反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,唐初統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試亦以這些算

7、書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書》，對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對(duì)讀者是有幫助的。隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,算籌是中國古代的主要計(jì)算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn)，但也存在布籌占用面積大，運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn)，因此很早就開始進(jìn)行改革。其中太乙

8、算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點(diǎn)，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn)，優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時(shí)乘除算法仍然不能在一個(gè)橫列中進(jìn)行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應(yīng)用。,中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計(jì)算增多，迫切要求改革計(jì)算方法，從《新唐書》等文獻(xiàn)留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘

9、除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算，它既適用于籌算，也適用于珠算。,3.2.1劉徽的數(shù)學(xué)成就,《隋書》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年撰《九章算術(shù)注》。 《九章算術(shù)注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨(dú)立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。,劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論 。,中國數(shù)學(xué)家劉徽,劉徽（約公元225年—295年），漢族，山東臨淄人

10、，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，著有《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》等。劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。,《九章算術(shù)注》對(duì)數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)　　開始了其獨(dú)特的推理論證的嘗試。 “析理以辭，解體用圖?！?創(chuàng)立了“出入相補(bǔ)”的方法，提出了“割圓術(shù)”，上首次將極限概念用于近似計(jì)算；引入十進(jìn)制小數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識(shí)；他試圖建立球體積公式，雖然沒有成功，

11、但為后人提供了科學(xué)的方法；他對(duì)勾股測(cè)量問題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個(gè)原理出發(fā)，運(yùn)用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法 。提出“審辨名分”，不但對(duì)自己提出的每一個(gè)新概念都給出界定《九章算術(shù)注》豐富了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。 諸如，割圓術(shù)與徽率“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！?中國數(shù)學(xué)家劉徽,《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程

12、，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，　　但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,（1）割圓術(shù)劉徽注

13、《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”：“半周半徑相乘得積步”，求圓面積時(shí)用圓周率為3?！坝职矗簽閳D，以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！?,,,,,,,,,,,,,,,,,,劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念

14、的佳作．,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,第一，設(shè)圓的半徑為1尺，從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，倍增正多邊形的邊數(shù)，直到正96邊形，依次算出正多邊形的周長和面積。第二，由正48邊形邊長計(jì)算正96邊形面積。第三，找出與圓面積之間的關(guān)系，這種關(guān)系也稱劉徽不等式。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,割圓術(shù)的基本原理,設(shè)圓面積為So、半徑為 r、圓內(nèi)接正n邊形邊長為 In 、周長為 Ln、

15、面積為 Sn 。將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形，其邊長、周長、面積分別記為 l2n , L2n , S 2n 。劉徽首先指出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n其次知道了圓內(nèi)接正n 邊形的周長 Ln，又可求得正2n邊形的面積，如果在圓內(nèi)接n邊形的每邊上作一高為CD的矩形，就可以證明劉徽不等式：S2n < So< S2n + ( S2n－Sn ).,徽率,從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑r為1尺，一直計(jì)算到192邊形，

16、得出圓周率的近似值π≈3.14，化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的“徽率”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,,,,,,,,,,,,,,,,,,,弧田術(shù)劉徽注《九章算術(shù)》方田章“弧田術(shù)”：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一?！?（二）體積理論,劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上，這就是他所謂的“出入相補(bǔ)”原理：一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和不變。,在平面的情形，劉徽成功地證明了《九章算術(shù)

17、》中許多面積公式，但當(dāng)他轉(zhuǎn)向立體情形時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)“出入相補(bǔ)”的運(yùn)用遇到了很大的困難。這里實(shí)質(zhì)性的障礙在于：與平面情形不同，并不是任意兩個(gè)體積相等的立體圖形都可以剖分或拼補(bǔ)（也就是中國古代數(shù)學(xué)家所說的“出入相補(bǔ)”）相等。,“圭田”即等腰三角形“今有圭田，廣十二步，正縱二十一步。問：為田幾何？“答曰：一百二十六步。術(shù)曰：半廣以乘正縱。劉徽注：“半廣者，以盈補(bǔ)虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱，以取中平之?dāng)?shù)。故廣縱相乘為積步。畝法

18、除之，即得也。”,,,劉徽?qǐng)D解：,“邪田”，即直角梯形的面積：“今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正縱六十四步。問：為田幾何？”答曰：九畝一百四十四步。術(shù)曰：并兩邪而半之，以乘正縱若廣。又可半正縱若廣，以并，畝法而一。即,,,,劉徽根據(jù)出入相補(bǔ)原理的圖解：,“箕田”即等腰梯形“今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正縱三十步。問：為田幾何？”答曰：一畝一百三十五步。術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正縱。畝法而一。劉徽注：“中分箕

19、田則為兩邪田，故其術(shù)相似。又可并踵舌，半正縱以乘之”,,他在推算《九章算術(shù)》中的一些立體體積公式時(shí)，靈活地使用了兩種無限小方法：極限方法與 不可分量方法。,(1)陽馬術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》“商功章”陽馬術(shù)給出陽馬的體積公式為其三條直角邊乘積的三分之一。,劉徽從一長方體出發(fā)（見圖），將它斜分成兩個(gè)“壍堵”，然后再斜分壍堵得到兩個(gè)立體圖形，其中一個(gè)就是陽馬，另一個(gè)是鱉臑。,術(shù)曰：“廣袤相乘，以高乘之，三而一．”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,劉徽常

20、使用四種圖形來求立體：立方、塹堵、陽馬和鱉臑,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,劉徽常使用四種圖形來求立體：立方、塹堵、陽馬和鱉臑方臺(tái),,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,《九章算術(shù)》商功第 15 問“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何。答曰：九十三尺少半尺。術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一?！眲⒒兆ⅲ骸靶敖饬⒎降脙蓧q堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑成一陽馬，合三陽馬而成 一立方，故三而一

21、?！?劉徽證明陽馬體積與鱉臑體積之比為2：1,,“牟合方蓋”,在《九章算術(shù)*開立圓術(shù)》注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，并引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型,球體積牟合方蓋”是指正方體的兩個(gè)軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分。 牟合方蓋的性質(zhì)：牟合方蓋的內(nèi)切球就是立方體的內(nèi)切球.,,,,,用同一水平面去截，得到一個(gè)圓和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）.二者的關(guān)系是截面圓與其外切正方形的面積之比是從

22、而,,,,,,劉徽在這里實(shí)際已用到了西方微積分史著作中所說的“卡瓦列利原理”，可惜沒有將它總結(jié)為一般形式。牟合方蓋的體積怎么求呢？劉徽終于未能解決。,劉徽雖然沒有推證出球體積公式， 但他所創(chuàng)用的特殊形式的不可分量方法，成為后來祖沖之父子在球體積問題上取得突破的先導(dǎo)。,劉徽《九章算術(shù)注》還有其他許多數(shù)學(xué)成果，特別是他在《九章算術(shù)》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術(shù)注》第十卷，后來單獨(dú)刊行，稱為《海島算經(jīng)》。,重差術(shù),在自撰《海

23、島算經(jīng)》中，他提出了重差術(shù)，采用了重表、連索和累矩等測(cè)高測(cè)遠(yuǎn)方法。他還運(yùn)用“類推衍化”的方法，使重差術(shù)由兩次測(cè)望，發(fā)展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀(jì)，歐洲在15～16世紀(jì)才開始研究兩次測(cè)望的問題。劉徽的工作，不僅對(duì)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，而且在世界數(shù)學(xué)吏上也確立了崇高的歷史地位。鑒于劉徽的巨大貢獻(xiàn)，所以不少書上把他稱作“中國數(shù)學(xué)史上的牛頓”。,見下面：,《海島算經(jīng)》,（4）重差術(shù)和《海島算經(jīng)》劉徽注釋《九章算術(shù)》“勾股”

24、章的最后，補(bǔ)充重差術(shù)的九個(gè)問題。今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與末表參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合。問島及去表各幾何？,,劉徽給出如下公式：即,,,3.2.2 祖沖之與祖暅,祖沖之（公元429-500，如圖）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷

25、代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。,中國數(shù)學(xué)家祖沖之,祖沖之（ 公元429年─公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。為避戰(zhàn)亂，祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。祖昌曾任劉宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖沖之的父親也在朝中做官。祖沖之從小接受家傳的科學(xué)知識(shí)。青年時(shí)進(jìn)入華林學(xué)省，從事學(xué)術(shù)活動(dòng)。一生先后任過南徐州（今鎮(zhèn)江市）從事史、

26、公府參軍、婁縣（今昆山市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械三方面。,中國數(shù)學(xué)家祖沖之,祖沖之，在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（π）值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位，即3.1415926到3.1415927之間。他提出約率22/7和密率355/113，這一密率值是世界上最早提出的，比歐洲早一千多年，所以有人主張叫它“祖率”也就是圓周率的祖先。他將自己的數(shù)學(xué)研究成果匯集成一部著作，名為《綴術(shù)》，唐朝國學(xué)曾經(jīng)將此書定為數(shù)

27、學(xué)課本。他編制的《大明歷》，第一次將“歲差”引進(jìn)歷法。提出在391年中設(shè)置144個(gè)閏月。推算出一回歸年的長度為365.24281481日，誤差只有50秒左右。,,他不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，而且還是一位杰出的機(jī)械專家。重新造出早已失傳的指南車、千里船等巧妙機(jī)械多種。此外，他對(duì)音樂也有研究。著作有《釋論語》、《釋孝經(jīng)》、《易義》、《老子義》、《莊子義》及小說《述異記》等，但早已失傳。,祖沖之星,1964年11月9日為了紀(jì)念祖沖之對(duì)

28、我國和世界科學(xué)文化作出的偉大貢獻(xiàn)，紫金山天文臺(tái)將1964年發(fā)現(xiàn)的，國際永久編號(hào)為1888的小行星命名為“祖沖之星”。,紫金山天文臺(tái),祖沖之、祖暅（1）圓周率祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》中，《隋書·律歷志》說：“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間”。即圓周率數(shù)值的上下限：密率　　，約率,,,,,祖沖之（429~500

29、） 與祖率,據(jù)《隨書·律歷志》記載，祖沖之求得的π值的取值范圍為3.141592 < π<3.1415927 .（并稱為朒、盈數(shù)）如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)，至24576邊形,（一）祖氏原理與球體積,曾使劉徽絞盡腦汁的球體積問題，到祖沖之時(shí)代終于獲得解決。這一成就被記錄在《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”李淳風(fēng)注中。,根據(jù)李淳風(fēng)的注，祖暅球體積的推導(dǎo)繼承了劉徽的路線，即

30、從計(jì)算“牟合方蓋”體積來突破。,,取牟合方蓋的八分之一，然后考慮它與它的外切正方體所圍成的立體，并如圖Ⅰ那樣將它再剖分成三個(gè)小立體，將這三個(gè)小立體單畫出來分別如圖Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。同時(shí)考慮一個(gè)以外切正方體上底面為底、以該正方體,,一邊為垂直邊的倒方錐（圖Ⅴ）。,祖暅推證的關(guān)鍵是以下的命題,,命題：倒方錐Ⅴ的體積，等于三個(gè)小立體Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的體積之和，因此也等于從外切正方體中挖去牟合方蓋的部分即立體Ⅰ的體積：

31、 Ⅴ=Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ=Ⅰ,如果證明了命題，那么倒方錐Ⅴ的體積容易知道是 （ 是正方體邊長，也是內(nèi)切球半徑長）。于是牟合方蓋八分之一的體積應(yīng)為 ，整個(gè)牟合方蓋體積為 。,根據(jù)劉徽已經(jīng)證過的結(jié)果，應(yīng)有下列關(guān)系：,祖暅原理與球體積公式,劉徽原理與“牟合方蓋”用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球=

32、（π/4） V牟。,“小方蓋差” 與球體積公式,左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為a，UQ是球半徑r，UP是高h(yuǎn)。根據(jù)勾股定理得a2 = r2 – h2;這正是截平面PQRS的面積 中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于r2 －a2 =h2， 右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2,根據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。,設(shè)

33、 則有 ，由勾股定理， ，故,但在高h(yuǎn) 處倒方錐V 的截面積顯然也等于 。,這就是說，在任一相同的高處立體I（注意在方體中已挖去牟合方蓋部分）的截面積都與倒方錐V的截面積相等。,這時(shí)祖暅提出了一條原理說：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。應(yīng)用這一原理，命題的證明不言而喻。,至于關(guān)鍵命題的證明，祖暅考察在高h(yuǎn) 處的水平截面，如圖所示容易看出：三個(gè)小立方體Ⅱ

34、，Ⅲ，Ⅳ的截面積 ASQP,CTQR 與BSQT合并在一起應(yīng)等于正方體截面積ABCD 與牟合方蓋部分的截面積PQRD之差，即,概言之，祖暅推導(dǎo)幾何圖形體積公式的方法是以下列兩條原理為基礎(chǔ)：,（1）出入相補(bǔ)原理；,（2）祖氏原理：冪勢(shì)既同，則積不容異。,祖氏原理在西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。,劉徽和祖沖之父

35、子的工作，思想是很深刻的，它們反映了魏晉南北朝時(shí)代中國古典數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的論證傾向，以及這種傾向所達(dá)到的高度。祖沖之父子的方法都記載在《綴術(shù)》中?！毒Y術(shù)》在隋、唐時(shí)期曾與《九章算術(shù)》一起被列為官學(xué)教科書，但《隋書﹒律歷志》中已說：“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W”了！《綴術(shù)》于公元10世紀(jì)在中國本土完全失傳。,中國數(shù)學(xué)家祖暅,祖沖之的兒子祖暅，也是一位杰出的數(shù)學(xué)家，他繼承他父親的研究，創(chuàng)立了球體體積的正確算法。在天文方面，他也能繼承父業(yè)。小時(shí)習(xí)學(xué)家傳的學(xué)

36、業(yè)，深入研究的十分精細(xì)，也有靈巧的心思。技藝達(dá)到神妙的境地，就是古代傳說中的魯班和倕（傳說為舜時(shí)的巧匠）這樣的巧匠也難以超過他。他曾著《天文錄》三十卷，《天文錄經(jīng)要訣》一卷，可惜這些書都失傳了。他父親制定的《大明歷》，就是經(jīng)他三次向梁朝政府建議，才被正式采用的。他還制造過記時(shí)用的漏壺造得很準(zhǔn)確，并且作過一部《漏刻經(jīng)》。,中國數(shù)學(xué)家祖暅,祖沖之與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計(jì)算。他們當(dāng)時(shí)采用的一條原理是：“冪勢(shì)既同，

37、則積不容異?！币饧矗何挥趦善叫衅矫嬷g的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。在西方被稱為“卡瓦列利原理”，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（Cavalieri）發(fā)現(xiàn)的。,祖暅之子祖皓,暅之子皓，志節(jié)慷慨，有文武才略。少傳家業(yè)，善算歷。大同中為江都令，后拜廣陵太守（相當(dāng)于現(xiàn)在的警備區(qū)司令）。祖皓在一次戰(zhàn)爭(zhēng)中失利而亡。《南史》記載：“城陷，皓見執(zhí)，被縛射之，箭遍體，

38、然后車裂以徇。城中無少長，皆埋而射之。 ” 又一位在數(shù)學(xué)上有天才、有才能的人才，白白為了皇家送了命。,注：祖沖之的孫子祖皓，也傳家學(xué)，擅長歷算。只可惜，南朝梁武帝末年降將侯景叛亂，到處燒殺掠奪，祖皓被殺，祖氏科學(xué)世家，被亂臣覆滅了。,茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。 ----諸葛亮,生于亂世,3.2.3《算經(jīng)十書》,隋唐時(shí)期中國數(shù)學(xué)發(fā)展的兩件大事是數(shù)學(xué)教育制度的建立和數(shù)學(xué)典籍的整理 。,7世紀(jì)初，隋代開始在國

39、子監(jiān)中設(shè)立“算學(xué)”，并“置博士、助教、學(xué)生等員”，這是中國封建教育中數(shù)學(xué)?？平逃恼囟?。唐代不僅沿襲了“算學(xué)制度”，而且還在科舉考試中開設(shè)了數(shù)學(xué)科目，叫“明算科”，考試及第者也可做官，不過只授予最低官階。,“算學(xué)”制度及明算開科都需要適用的教科書，唐高宗親自下令對(duì)以前的十部數(shù)學(xué)著作進(jìn)行注疏整理。受詔負(fù)責(zé)這項(xiàng)工作的是李淳風(fēng)（約604-672），公元656年編成以后，成為國學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書，稱“十部算經(jīng)”或“算經(jīng)十書”。這十部算經(jīng)分別是：

40、,《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》。,其中《綴術(shù)》在唐、宋之交失傳以后，宋代刊刻的《算經(jīng)十書》中便以南北朝時(shí)期北周人甄鸞所著《數(shù)術(shù)記遺》來替補(bǔ)。甄鸞也是《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》的作者。,（一）《孫子算經(jīng)》與“物不知數(shù)”問題,《孫子算經(jīng)》作者不詳，大約是公元4世紀(jì)的作品，全書3卷，卷上有今天僅存的中國籌算法則的記載 。,《孫子算經(jīng)》

41、最著稱于世的是卷下的“物不知數(shù)問題”： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”,這相當(dāng)于求解一次同余組,答曰：二十三．術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得．凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得．”,《孫子算經(jīng)》給出的答數(shù)是符合條件的最小正數(shù)解 ，“物不知

42、數(shù)”題術(shù)文指示了解題方法，列成算式就是：,《孫子算經(jīng)》還說明對(duì)任意余數(shù) ，只要將算式中的2，3，2換成 ，并調(diào)整105的系數(shù)就行了。這是今天關(guān)于一次同余組一般解法的剩余定理的特殊形式。孫子問題引導(dǎo)了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法---“大衍求一術(shù)”?，F(xiàn)代文獻(xiàn)中往往把求解一次同余組的剩余定理稱為“中國剩余定理”，或直稱“孫子定理”。,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,明代程大位

43、《算法統(tǒng)宗》　　　　三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。　　　　七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得知。宋代周密《志雅堂雜鈔》卷下“鬼谷算”　　　　三歲孩兒七十稀，五留廿一事尤奇。　　　　七度上元重相會(huì)，寒食清明便可知。,《孫子算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》全書共3卷，其中的算題趣味性較強(qiáng)，著名的“雉兔同籠”、“獸禽同籠”、“望九隄”等問題?！帮敉猛\”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？,,,《孫子算經(jīng)》卷下第26題，

44、“物不知數(shù)”問題今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？“三、三數(shù)之剩二，置一百四十；五、五數(shù)之剩三，置六十三；七、七數(shù)之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之剩一，則置七十；五、五數(shù)之剩一，則置二十一；七、七數(shù)之剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。”《孫子算經(jīng)》給出解答是：,,,,（二）《張邱建算經(jīng)》和“百雞問題”,《張邱建算經(jīng)》三卷，據(jù)考大約成書于公元466

45、—485年間，作者張邱建是北魏時(shí)人．《張邱建算經(jīng)》卷下最后一題通常稱“百雞問題”：,“今有雞翁一，直錢五；雞母一，·直錢三；雞雛三，直錢一．凡百錢買雞百只．問雞翁、母、雛各幾何?”,《張邱建算經(jīng)》《張邱建算經(jīng)》是南北朝時(shí)期的一部數(shù)學(xué)著作，成書時(shí)間大約在466－485年間，作者是北魏人。 《張邱建算經(jīng)》分上、中、下三卷，其中所列的題目，大部分都是現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問題。這部著作在中國數(shù)學(xué)史上居有一定的地位，有些題目和解法超出了《九章

46、算術(shù)》的范圍。,,,,,此題相當(dāng)于解不定方程組：,,張邱建給出所有可能的正整數(shù)解:,(三)《緝古算經(jīng)》與三次方程,《緝古算經(jīng)》是十部算經(jīng)中年代最晚的一部，作者王孝通是唐初人，《緝古算經(jīng)》也是一本實(shí)用問題集，用“開帶從立方法”解決工程問題，“開帶從立方法”就是求三次方程正根的數(shù)值解法，書中給出了28個(gè)形如,的正系數(shù)方程及其正有理根，但沒有解題方法．,《緝古算經(jīng)》是世界上最早討論三次方程組代數(shù)解法的著作．高次方程的數(shù)值解法，在宋、元時(shí)期得到

47、了高度發(fā)展．,《緝古算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》的作者是王孝通，唐代初期人，他對(duì)《九章算術(shù)》和《綴術(shù)》都有深入的研究，校算過歷書。他從土木工程和天文歷法的實(shí)際需要出發(fā)，對(duì)復(fù)雜的立體求積問題和天文測(cè)算問題，進(jìn)行鉆研，創(chuàng)造了三次方程布列和求解的方法?！毒児潘憬?jīng)》共列20個(gè)問題，大都?xì)w結(jié)為一個(gè)三次方程求解。,如第15題，其大意是“已知勾股相乘積　　　　　　，弦多于勾　　　　　　，求勾a，股b，弦c”王孝通的解法如下：得關(guān)于a的三次方程,,,

48、,,例題,1、在中算史上，劉徽首先建立了可靠的理論來推算圓周率，他所算得的“徽率”是(       )。A、3.1    B、3.14　　 C、3.142     D、3.14159262、下列數(shù)學(xué)著作中不屬于“算經(jīng)十書”的是(    &#

49、160;  )。A、《數(shù)書九章》B、《五經(jīng)算術(shù)》 C、《綴術(shù)》 D、《緝古算經(jīng)》,例題,3．《周髀算經(jīng)》和（ ）是我國古代兩部重要的數(shù)學(xué)著作。 A.《孫子算經(jīng)》 B.《墨經(jīng)》 C.《算數(shù)書》D.《九章算術(shù)》4．中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證實(shí)的數(shù)學(xué)家是 ( ) A.周公后人榮方與陳子 B.三國時(shí)期的趙爽 C.西漢的張蒼、耿壽昌 D.魏晉南北朝時(shí)期的劉徽 5

50、．世界上第一個(gè)把π計(jì)算到3.1415926＜π＜3.1415927的數(shù)學(xué)家是 ( )A.劉徽 B. 阿基米德 C.祖沖之 D.卡瓦列利,例題,6．《海島算經(jīng)》的作者是__劉徽__，《四元玉鑒》的作者是__朱世杰_____.7．中國古代把直角三角形的兩條直角邊分別稱為 勾 和 股 ，斜邊稱為 弦 .8．徽率、祖率(或密率)、約率分別是 、 和 .9．我國古代數(shù)學(xué)

51、家劉徽用來推算圓周率的方法叫___割圓術(shù)____術(shù)，用來計(jì)算面積和體積的一條基本原理是___出入相補(bǔ)原理_原理.,例題,10.請(qǐng)給出勾股定理的兩種證明方法，要求畫圖并寫出簡要推導(dǎo)過程.11.用《九章算術(shù)》中的盈不足術(shù)解下面問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何”？,例題,12.請(qǐng)簡述劉徽證明陽馬的體積公式為其三條直角邊乘積的三分之一的過程.13. 中國古代最早對(duì)勾股定理作出證明的數(shù)學(xué)家是三國時(shí)期的趙爽。