數(shù)學(xué)史：從象牙塔.講義

1、1,數(shù)學(xué)史：從象牙塔到小學(xué)課堂,江蘇啟東市教育局教研室 蔡宏圣博客：caihongsheng.blog.ntjy.net,2,話題的背景,在很多小學(xué)老師的視界中，數(shù)學(xué)教育缺失了一只眼睛。例數(shù)學(xué)史的運用在當(dāng)下的課堂是種時尚。時尚中的缺憾： 愛國主義 標(biāo)簽 學(xué)生感受 例,3,“三角形的認(rèn)識”中的教學(xué)意外,,4,,,5,思 辨,數(shù)學(xué)史的運用是為了數(shù)學(xué)史的教學(xué)還是為了數(shù)學(xué)的教學(xué)？數(shù)學(xué)史的運用是外在于課堂教學(xué)要素還是內(nèi)化于課堂

2、教學(xué)要素？,6,數(shù)學(xué)史內(nèi)化于課堂要素,教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容是不可缺失的課堂教學(xué)三個基本要素。之于教師，數(shù)學(xué)史是調(diào)適數(shù)學(xué)觀念的重要基礎(chǔ)之于學(xué)生，數(shù)學(xué)史是把握思維歷程的獨特視角之于教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實背景,7,對數(shù)學(xué)的理解不同教學(xué)方式也不同,,8,,,9,數(shù)學(xué)本質(zhì)對于數(shù)學(xué)教學(xué)的影響,英國著名數(shù)學(xué)教育家斯根普說，“我先前總認(rèn)為數(shù)學(xué)教師都是在教同樣的學(xué)科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我現(xiàn)在認(rèn)為在‘?dāng)?shù)學(xué)’這同一個名詞下

3、所教的事實上是兩個不同的學(xué)科?！?10,現(xiàn)場調(diào)查,說起數(shù)學(xué)，你腦海中浮現(xiàn)下面哪些詞？ 抽象 嚴(yán)謹(jǐn) 生活常識 直觀 具體 枯燥 符號 形式化 邏輯 證明 計算 有趣 猜測 錯誤 準(zhǔn)確,11,數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀,數(shù)學(xué)教師更傾向于把數(shù)學(xué)看成一個與邏輯有關(guān)的、有嚴(yán)謹(jǐn)體系的、關(guān)于圖形和數(shù)量的精確

4、運算的一門學(xué)科。（香港學(xué)者 黃毅英）教師的數(shù)學(xué)觀源自自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷和教學(xué)經(jīng)驗。,12,抽象和嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的本來面目嗎？,十進(jìn)制與十指坐標(biāo)與蜘蛛克拉與種子正負(fù)數(shù)與顏色各種符號的意義（自然和方便為上）等號 字母……,,13,,等號的產(chǎn)生和方程有關(guān)。15世紀(jì)就有人用水平的破折號“——”表示等號。公元1557年，英國御醫(yī)、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授雷科德首先將一條破折號上平行地添加一條，放兩條平行線，同樣長的一對雙生子“=”表示相等，任何兩

5、件東西，不可能比它們更相等了。,,14,,米 metre m千米 kilometre km分米 decimetre dm厘米 centimetre cm毫米 millimetre mm噸 ton t克 gram g千克 kilogram kg,,15,抽象和

6、嚴(yán)謹(jǐn)是公理化的要求,數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)只是一門數(shù)學(xué)分支成熟立說時的“外衣”。數(shù)學(xué)在其誕生之初，充滿著濃郁的生活常識的痕跡，認(rèn)識過程充滿了曲折、猜測、直觀，乃至錯誤和不可思議。一個數(shù)學(xué)知識最原始的部分，既不神秘也不嚴(yán)謹(jǐn)，沒有一點形式邏輯的印記，認(rèn)識的提升恰恰帶有濃重的按照生活事理邏輯自然衍生的痕跡。,16,數(shù)學(xué)兩重性對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示,數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗性 一個數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在在數(shù)學(xué)的具體源頭和抽象形式之間來回穿行，關(guān)注兒童們生

7、活經(jīng)驗的現(xiàn)實，尋找數(shù)學(xué)知識的邏輯源頭，領(lǐng)悟其間的數(shù)學(xué)過程和思想方法，由此，組織的數(shù)學(xué)教學(xué)可以順應(yīng)著生活事理的邏輯走向，孩子們的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然和樸素。,17,案例：乘法的初步認(rèn)識,18,總結(jié)一,一個認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)史的教師，就可以自我調(diào)適建立在經(jīng)驗層面上零散的、片面的數(shù)學(xué)觀念，雖然形成的先進(jìn)數(shù)學(xué)觀念也不系統(tǒng)，但在某一方面能更切合數(shù)學(xué)發(fā)展的本來面目。數(shù)學(xué)史起碼提供了這樣的視角，讓我們看到了數(shù)學(xué)的深刻和抽象實際上孕育在具體和直觀中，也許在

8、課堂中我們看不到顯性的、事實性的數(shù)學(xué)史實，但卻能影響著一個教師的數(shù)學(xué)教育思想-----努力用淺顯的情境去凸顯數(shù)學(xué)思想的深刻內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)教育具體中見深邃，淺顯中見厚重，使得教學(xué)能煥發(fā)出思想的光芒、經(jīng)典的力量。,19,讀懂兒童是教育促進(jìn)發(fā)展的前提,就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，讀懂兒童不是泛化意義上追求對兒童的理解，而應(yīng)突出地表現(xiàn)為細(xì)膩地、科學(xué)地對兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維活動做深入的了解和分析，大致把握兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難。 匈牙利著名數(shù)學(xué)家和

9、數(shù)學(xué)教育家波利亞：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷。”,20,案例：認(rèn)識負(fù)數(shù),中國是最早認(rèn)識和使用負(fù)數(shù)的國家。據(jù)早在2000多年前的《九章算術(shù)》記載，那時的人就有了“糧食入倉為正，出倉為負(fù)；收入的錢為正，付出的錢為負(fù)”的思想。1700多年前，我國數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時，更明確地提出了正負(fù)數(shù)的概念，并用不同顏色的算籌來表示它們。這些認(rèn)識中國比印度要早600多年，比

10、西方國家要提前1500多年。,21,基于數(shù)學(xué)史實的追問,現(xiàn)在看似理所當(dāng)然的事情，在最初認(rèn)識負(fù)數(shù)的時候，有哪些困難？難，難在哪里？使用負(fù)數(shù)到接納負(fù)數(shù)，那是兩個不同的認(rèn)識階段。那接納負(fù)數(shù)，意味著在理性認(rèn)識上要建構(gòu)起哪些認(rèn)識？生活中相反意義的量，一個用正數(shù)表示，一個就用負(fù)數(shù)表示，怎樣讓孩子們認(rèn)識到0在其中的重要作用？在歷史上，數(shù)學(xué)家們在認(rèn)識的提升中遇到了什么困難？他們的困難對于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有無借鑒意義？,22,“荒謬”的負(fù)數(shù),在數(shù)學(xué)史

11、上，把負(fù)數(shù)稱為“荒謬的數(shù)”、“虛假的數(shù)”的人不在少數(shù)，其中不乏當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家。 （不能指物為數(shù)）德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》中稱從零中減去一個大于零的數(shù)，得到的數(shù)“小于一無所有”，是“荒謬的數(shù)”。 1表示一件物體，2表示兩件物體……，0表示什么都沒有，“什么都沒有”就到了盡頭了，而負(fù)數(shù)比零還要小，比“什么都沒有”還要少，這怎么可能呢？,23,“認(rèn)識負(fù)數(shù)”教學(xué)的重構(gòu),重構(gòu)“0”的意義，和已有認(rèn)識的實現(xiàn)融通，才賦予了負(fù)數(shù)的理性意義

12、。,24,總結(jié)二,人類完成了一次認(rèn)識的跨越之后，回顧頭來看往往認(rèn)為那是理所當(dāng)然的事情，因此，作為教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生在初次學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)障礙就有難度，而歷史上數(shù)學(xué)家們在當(dāng)初認(rèn)識提升的過程中，留下的困惑和挫折卻為我們了解此問題提供了獨特的不可替代的視角。關(guān)注數(shù)學(xué)歷史中人類認(rèn)識的挫折和失敗，據(jù)此琢磨人類認(rèn)識提升所經(jīng)歷的階段，其中走過的彎路、碰到的認(rèn)知障礙等等，為準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的思維歷程提供了一種可能。,25,數(shù)學(xué)本質(zhì)之于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義,在哲學(xué)

13、層面上，有這樣的數(shù)學(xué)教育規(guī)律：問題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么?！绻徽晹?shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭議。研究所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒話題。,26,數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實背景,課堂中我們所接觸到的數(shù)學(xué)知識體系，是經(jīng)過精心組織的公理化的結(jié)果，已經(jīng)和其歷史過程割裂開來。但一個數(shù)學(xué)概念，作為人類千百年思維抽象的結(jié)晶，僅僅看它的最終形式化表述，普通人就很難深入把握其確切的本質(zhì)意義。 英國數(shù)

14、學(xué)家阿蒂亞爵士說，一個新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結(jié)果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分，甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上！,27,案例：用字母表示數(shù),例如，“用字母表示數(shù)”在教材配套的教師用書中，對其重要作用表述為這是人類認(rèn)識的一次飛躍，但教師實際上很難理解其真正的意義。反而有教師認(rèn)為，用字母表示數(shù)是因為不知道這個數(shù)是多少。,28,讓歷史告訴我們（1）,初

15、等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程。最早的代數(shù)問題： 已知“堆”（音：何）與七分之一“堆”相加得19，求“堆”的值。人類在解方程中的探索是按照兩條線索展開的。,29,讓歷史告訴我們（2）,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米和他的《還原和對消的科學(xué)》。 把一個正方形面積加上其一邊長度之十倍等于39時，此正方形必是什么（用現(xiàn)代符號表示即為x2＋10x =39）?花氏的解答為：把所加邊長的倍數(shù)除以2，得5。把該數(shù)自乘，得

16、乘積25。把此數(shù)與39相加，得64。取此數(shù)的平方根得8，從該數(shù)中減去邊長倍數(shù)之半，剩下3。此即所求正方形的邊長，因而所求正方形面積等于9。,30,讓歷史告訴我們（3）,古埃及人用“堆”來表示特定的未知數(shù)；古中國，曾經(jīng)用天、地、人、物四個漢字來表示四個未知數(shù)；花拉子米本人在用完整的文字來敘述方程解法的同時，也沒有妨礙他把未知量稱為“東西”或（植物的）“根”。古希臘丟蕃圖是最早使用簡略記號的代數(shù)學(xué)家。在他的著作里，將未知數(shù)稱為“題中的數(shù)”

17、，并用希臘字“數(shù)”的第一個音節(jié)的縮寫來表示。,31,讓歷史告訴我們（4）,一個個音節(jié)的縮寫，使得每一個縮寫其本身都具有先入為主的意義，因而就只能表示一個個特定的數(shù)量，只不過有所簡略而已。因此，一個個方程都各具獨自的特點，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)木拗洞蠓ā分杏涗浀姆匠谭N類有66中之多。17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)尋找能求解各種方程的通用方法。,32,讓歷史告訴我們（5）,韋達(dá)在《分析方法引導(dǎo)》的名著中這樣寫道：在這里，我們用一種技巧來幫助我們區(qū)

18、別已給的量和所求的或未知的量，這就是用一種有永久性質(zhì)的、易于理解的符號體系――例如，用A或其他母音字母表示未知量，用B、C、G或其他子音字母表示已知量。,33,讓歷史告訴我們（6）,重要里程碑意義：超越了各類數(shù)量的具體特點，從一般意義上用字母來表示它們，濾去了原先代數(shù)活動中的具體意義，省略了數(shù)學(xué)關(guān)系的實際情境，去掉了實際語言帶來的差別。這樣，就把原先各具特點的方程歸結(jié)成了通用的形式，使得代數(shù)變得能適應(yīng)所有場合的普遍情況，極大地擴(kuò)展了代數(shù)

19、的應(yīng)用范圍。,34,讀 史 明 智,用字母表示數(shù)意味著： 縮寫→符號 未知量→已知量 特定→變化人類認(rèn)識提升的三個階段：文辭代數(shù)→ 縮寫代數(shù)→符號代數(shù)。,35,總結(jié)三,抽象的數(shù)學(xué)概念只有放在歷史背景中，和抽象活動的歷史過程結(jié)合起來，才能變簡練為豐富、變艱澀為生動，才能較完整地呈現(xiàn)出其經(jīng)驗性和演繹性二重統(tǒng)一的本質(zhì)，進(jìn)而才能

20、更容易被后來的學(xué)習(xí)者調(diào)動起全部的經(jīng)驗積累來支撐其建構(gòu)概念的全部含義。我們要在數(shù)學(xué)知識的學(xué)校形態(tài)、科學(xué)形態(tài)和原始形態(tài)之間來回穿梭，從更寬廣的視野研讀教材，思索領(lǐng)悟知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想內(nèi)核，把握人類認(rèn)識提升的大致過程。只有這樣，才能為學(xué)生對數(shù)學(xué)獲得更好的理解提供生長點。,36,從數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)教育,小學(xué)數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)史不是為了數(shù)學(xué)史的教學(xué)，而是為了數(shù)學(xué)的教學(xué)。從這個意義上說，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，還只是重新應(yīng)用和思維加工的材料。一個教師知道

21、了一段數(shù)學(xué)史實，他設(shè)計的教學(xué)能有多大的創(chuàng)新性和發(fā)展性，取決于他在研讀數(shù)學(xué)史中的再創(chuàng)造程度。,37,策略一（1）,基于數(shù)學(xué)教學(xué)，即數(shù)學(xué)史的研讀要確立為了數(shù)學(xué)教學(xué)的價值取向。為了教學(xué)的數(shù)學(xué)史研讀，是為了站在歷史的高度，厘清知識的來龍去脈、數(shù)學(xué)思想的演進(jìn)走向，更好地把握住所教數(shù)學(xué)知識的知性本質(zhì)，以求得我們的數(shù)學(xué)教育能注入深刻和厚重。所以，為了教學(xué)的數(shù)學(xué)史研讀，是立足于現(xiàn)實中的“人”而去關(guān)注歷史中的“人”和“事”。,38,策略一（2）,不能只

22、關(guān)注史實，而要通過歷史上不同數(shù)學(xué)事件的比較，提煉數(shù)學(xué)思想發(fā)展的規(guī)律，不斷優(yōu)化自己的數(shù)學(xué)觀念；要透過某知識歷史演進(jìn)的脈絡(luò)，提煉出人類認(rèn)識逐步提升的順序；要善于抓住歷史的表象，立足于認(rèn)識論的角度多些追問；透過歷史上人類認(rèn)識曾經(jīng)走過的彎路、數(shù)學(xué)家們的挫折和困惑，提煉出人類認(rèn)識某知識的障礙；要立足于“給孩子們正確的數(shù)學(xué)觀念和良好的學(xué)習(xí)情感”的視角，捕捉有教育意義的歷史故事和歷史事件。,39,策略一（3）,研讀所依據(jù)的材料不是原始的數(shù)學(xué)史料

23、和文物，而是各種版次的數(shù)學(xué)史著作；研讀方法上要圍繞同一個事件，研讀不同版本的數(shù)學(xué)史，從不同的數(shù)學(xué)史著作中豐富此數(shù)學(xué)事件的內(nèi)涵，更要參考數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家的傳記等資料；在缺乏資料的情況下，不妨運用“邏輯推演”的方式對某知識發(fā)展的歷史過程作出解釋。一方面可以站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對古人數(shù)學(xué)思考和方法的走向進(jìn)行數(shù)理分析，以合情推理來把殘缺的歷史資料統(tǒng)合起來；另一方面，可以依據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的規(guī)律，對某知識的形成作出解釋。復(fù)原,,40,策略一（4）

24、,,,41,策略二（1）,寬于數(shù)學(xué)史實，即數(shù)學(xué)史的考察要和其它數(shù)學(xué)教育理論結(jié)合在一起。數(shù)學(xué)史所揭示的數(shù)學(xué)思想發(fā)展歷程，其最終可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)家們的思維發(fā)生、發(fā)展的過程，因而，數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)和數(shù)學(xué)教育心理等其他數(shù)學(xué)教育理論所揭示的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律是相通的。,42,策略二（2）,從歷史上看，算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角和微積分都不是通過操作形式化的符號而產(chǎn)生的，任何一門學(xué)科最初都是通過直觀的方法建立起來的，數(shù)學(xué)家大都也是直觀地思考問題，然后才用演繹的

25、形式，用文字、數(shù)學(xué)符號和形式邏輯來表述他的論點。,43,策略二（3）,數(shù)學(xué)教育心理學(xué)“表征”,44,策略三（1）,從歷史中汲取的教學(xué)素材和啟示，只不過提供了數(shù)學(xué)教學(xué)的另一種可能，能否成為現(xiàn)實的課堂，還應(yīng)該切合教學(xué)的現(xiàn)實狀況——課程標(biāo)準(zhǔn)的實際要求、這一內(nèi)容的教科書編寫要義、學(xué)生可能的接受水平等，即在數(shù)學(xué)史和教學(xué)現(xiàn)實狀況間應(yīng)該達(dá)成一種平衡，以順應(yīng)課堂教學(xué)的特點。,45,策略三（2）,課堂教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史，不是完全再現(xiàn)歷史歷程，而是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)

26、展進(jìn)程中的經(jīng)典瞬間，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)思想的洗禮。為此，荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾說：“孩子應(yīng)該重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，但并非按照它的實際發(fā)生過程，而是假定人們在過去就知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西，那情況會怎么發(fā)生。”因此，這其中重要的是符號化而不是符號本身，是語言描述而不是語言本身，是定義化而不是定義本身，如此等等。,46,策略三（3）,數(shù)學(xué)史也只有和教學(xué)現(xiàn)實融合在一起，才能明晰課堂教學(xué)的整體思路，不然教學(xué)就會迷失在浩瀚的數(shù)學(xué)史料中，失去