《模態(tài)分析與綜合技術(shù)》02-模態(tài)分析理論基礎(chǔ)-02單自由度系統(tǒng)建模與振動分析

1、,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,模型是表征系統(tǒng)本質(zhì)信息的一種形式。 若是對一種現(xiàn)象的描述，謂概念性模型（或觀念性模型）。 若是用實驗為依據(jù)的描述，即所謂物理模型（在機械運動中可稱為力學(xué)模型）。 若是分析形式，即數(shù)學(xué)模型。 在工程中，需要定量地描述一個系統(tǒng)，需要了解系統(tǒng)的特性，必須要建立一個能描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（建模）。 在動力學(xué)的正、反問題中建模方法是完全不同的

2、。 正：根據(jù)系統(tǒng)所服從的物理定律； 反：依靠實驗數(shù)據(jù)-參數(shù)辯識。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,只需要一個坐標就可以完全確定其幾何位置的系統(tǒng)稱為單自由度系統(tǒng)。 工程中許多振動問題可以化簡為單自由系統(tǒng)來研究 。質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)是最簡單也是最典型的振動力學(xué)模型。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,單自由度系統(tǒng)的建模方法可以利用： 1 牛頓第二定律

3、 F=ma 2 拉格朗日方程,n為自由度數(shù)，qj為第j個廣義坐標，U為系統(tǒng)勢能，T為系統(tǒng)動能，Qj為與qj對應(yīng)的廣義力。,3 等效法,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,所有單自由度的粘性阻尼系統(tǒng)（粘性阻尼：阻尼力與質(zhì)點速度成正比且反向的阻尼模型）都可簡化為如圖所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。,令x為廣義坐標，線性剛度具有如下形式的力-位移關(guān)系：,線性阻尼力具有如下的力-速度關(guān)系：,,第2章 簡單振動系

4、統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,串、并聯(lián)彈簧的剛性系數(shù)的等效：,,,,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,令x為廣義坐標，系統(tǒng)的動能為：,meq為等效質(zhì)量。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,系統(tǒng)的勢能為：,keq為等效剛度。,粘性阻力在任意兩點x1和x2間所作的功為：,ceq為等效粘性阻尼系數(shù)。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,例1 試求如圖所示桿的縱向剛度。,解：當桿一端作用沿x方向的力

5、F時，其長度變 化為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,由上式，得：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,例2 試求如圖所示轉(zhuǎn)動軸的扭轉(zhuǎn)剛度。轉(zhuǎn)軸的剪切模量為G,軸的內(nèi)外徑分別為r,R。,解：如果在軸的末端施加一個力矩M,則由材料力學(xué)知識知，軸端的扭轉(zhuǎn)角為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,其中J為軸的截面極慣性矩：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,例3 計算如圖所

6、示勻質(zhì)桿系統(tǒng)的等效參數(shù)。廣義坐標為q, 從系統(tǒng)的平衡位置測起， q假定很小。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,解：廣義坐標為q, 則系統(tǒng)任意瞬時的動能為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,因重力引起的勢能與靜變形引起的勢能相抵消，則系統(tǒng)任意瞬時的勢能為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,通過前面一節(jié)對于一線性單自由系統(tǒng)，總可以將其簡化為質(zhì)量－彈簧-粘性阻尼系統(tǒng)，得到系統(tǒng)的等效慣

7、性、剛性和粘性參數(shù)。并進一步用牛頓定律得到系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程：,自由振動微分方程。,強迫振動微分方程。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,由自由振動方程，引入記號：,w為無阻尼時系統(tǒng)的固有頻率(rad/s)。工程中通常用f/Hz。z為無量剛阻尼率。 自由振動方程可改寫為：,1 自由振動,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,此方程為系統(tǒng)的特征方程。它的兩個根為：,設(shè)方程的解為：,代入

8、上述方程，有：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,z=1為臨界阻尼情形。臨界——聯(lián)想到物理中的相變，水的沸點。 z>1（超阻尼）:不振動。 下面重點討論亞阻尼（欠阻尼）情形： 0<z<1。這時，系統(tǒng)的兩個特征值為一對共軛復(fù)數(shù)，即：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,有阻尼系統(tǒng)自由振動的特性取決于上面的特征方程的根的特性，對于欠阻尼情形，系統(tǒng)的兩個特征值為一對共軛

9、復(fù)數(shù)，具有頻率量綱，故稱為復(fù)頻率。,它的實部是一個負數(shù)，表示了振幅衰減的狀態(tài)(衰減率)，虛部總是共軛成對地出現(xiàn)，表示了系統(tǒng)振動的頻率，因此特征根反映了全部振動特性。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：,則粘性阻尼系統(tǒng)的自由響應(yīng)為：,其中：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,系統(tǒng)在經(jīng)常性激勵作用下的振動稱為強迫振動。 線性系統(tǒng)的一個最重要的特點是疊加原理適用于它。

10、 疊加原理：系統(tǒng)對于多個激勵的總響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對各個激勵單獨作用下的響應(yīng)之和。如系統(tǒng)對激勵f1和f2的響應(yīng)分別為x1和x2,則系統(tǒng)對于c1 f1 +c2 f2的總響應(yīng)就等于c1 x1 +c2 x2,2 強迫振動,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,下面如圖介紹彈性-線性阻尼系統(tǒng)對于諧和激勵的響應(yīng)。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,引入記號：,A0稱為零

11、頻率位移（靜位移）。 強迫振動方程可改寫為：,設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,方程的解為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,上式第一部分代表由初始擾動引起的自由振動，第二部分代表擾力引起的自由振動，第三部分代表與擾力同形式的定常強迫振動。 前兩部分成為系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；后一部分稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（定常響應(yīng)）。,,第2

12、章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)將隨時間的推移而消逝，最后剩下的就只有定常強迫振動，即穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 下面詳細討論定常響應(yīng)：,其中：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,可見，振幅A與靜位移、阻尼率與頻率比都有關(guān)，而初相位則僅與阻尼率與頻率比有關(guān)。 定義放大率b為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,

13、則，有：,可見，放大率僅僅依賴于阻尼率與頻率比。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,為了便于分析，給出b-g曲線：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,上圖稱為幅頻特性曲線（幅頻響應(yīng)），從圖中可以看到，當頻率比g>1時，放大率十分接近于0。 當頻率比g~1時，放大率相對地放大。即振幅（響應(yīng)）達到極大值，這種現(xiàn)象稱為共振。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2

14、.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,當頻率比g~1時的區(qū)域時系統(tǒng)發(fā)生劇烈振動，稱為共振區(qū)。 在共振區(qū)內(nèi)，阻尼率對于振幅的影響非常顯著。 嚴格說來，共振并不出現(xiàn)在g=1處，共振頻率為：,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,上圖稱為相頻特性曲線。,,第2章 簡單振動系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動分析,2 強迫振動,從圖中可以看出來：不論阻尼率多大，當g=1時，都有y=p/