《數(shù)學(xué)史》分析的嚴(yán)格化(下)

1、第10章 分析的嚴(yán)格化,10.3.3 數(shù)學(xué)物理與微分方程,自從牛頓時(shí)代起，物理問題就成為數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要源泉．18世紀(jì)數(shù)學(xué)和物理的結(jié)合點(diǎn)主要是常微分方程．隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象從力學(xué)向電學(xué)以及電磁學(xué)擴(kuò)展，到19世紀(jì)，偏微分方程的求解成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家關(guān)注的重心，對它們的研究促進(jìn)了函數(shù)論、變分法、無窮級數(shù)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等學(xué)科的發(fā)展．,,19世紀(jì)偏微分方程發(fā)展的序幕，是由法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Four

2、ier，1768—1830)拉開的，他于1822年發(fā)表的《熱的解析理論》是數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典文獻(xiàn)之一．傅里葉研究的主要問題是吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點(diǎn)處的溫度隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律．在對物體的物理性狀作出一定的限制(如均勻，各向同性)后，他根據(jù)物理原理推導(dǎo)出了三維空間的熱傳導(dǎo)方程,,傅里葉：,傅立葉,1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡， 被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。

3、 17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴 黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。,傅立葉,主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳

4、導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。 其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號，改進(jìn)了代數(shù)方程符號法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。,其中 是一個(gè)常數(shù)，其值依賴于物體的質(zhì)料．傅里葉當(dāng)時(shí)解決的是如下特殊的熱傳導(dǎo)問題：設(shè)所考慮的物體為兩端保持在溫度0度、面絕熱而無熱流通過的柱軸，在此情

5、形下求解上述熱傳導(dǎo)方程．因?yàn)橹S只涉及一維空間，所以這個(gè)問題也就是解偏微分方程,,其中下面的兩項(xiàng)分別是邊界條件和初始條件．傅里葉為解這個(gè)方程用了變量分離法，他得到,,為了滿足初始條件，必須有,,這就促使傅里葉不得不考慮任給一個(gè)函數(shù)，能否將它表示成三角級數(shù)的問題．傅里葉得出的結(jié)論是：每個(gè)函數(shù)都可以表示成,,這樣，每個(gè) 就可由上式乘以 ，再從0到 積分而得到．他還指出這個(gè)

6、程序可以應(yīng)用于表達(dá)式,,,接著，他考慮了任何 在區(qū)間 的表達(dá)式，利用任何函數(shù)可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和這一事實(shí)，傅里葉可以將區(qū)間 上的任何 表示為,,其系數(shù)由,,確定，這就是我們通常所稱的傅里葉級數(shù)．不過傅里葉從沒有對“任意”函數(shù)可以展成傅里葉級數(shù)這一斷言給出過任何完全的證明，他也沒有說出一個(gè)函數(shù)可以展開為三角級數(shù)必須滿足的條件．,,傅里葉,,,傅里葉

7、的工作不僅發(fā)展了偏微分方程的理論，而且使函數(shù)概念得以改進(jìn)，同時(shí)也標(biāo)志著人們從解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)中解放了出來．傅里葉的前輩都曾堅(jiān)持一個(gè)函數(shù)必須是可用單個(gè)式子表示的，而傅里葉級數(shù)卻可以表示那些在區(qū)間 或 的不同部分有不同解析式的函數(shù)，不論這些表示式互相是否連續(xù)地接合著．特別是一個(gè)傅里葉級數(shù)是在一整段區(qū)間上表示一個(gè)函數(shù)的，而一個(gè)泰勒級數(shù)僅在函數(shù)是解析的點(diǎn)附近表示該函數(shù)．,19世紀(jì)偏微分方程的另

8、一個(gè)重要發(fā)展是圍繞著位勢方程來進(jìn)行的，這方面的代表人物格林(G．Green，1793—1841)是一位磨坊工出身、自學(xué)成才的英國數(shù)學(xué)家．位勢方程也稱拉普拉斯方程(參見第7章)：,,拉普拉斯和泊松都研究過這個(gè)方程，但他們的方法都只適用于特殊的幾何形體，格林則認(rèn)識到函數(shù) 的重要性，并首先賦予它“位勢”(potential)的名稱，與前人不同的是，格林發(fā)展了函數(shù) 的一般理論．他求解位勢方程的方法與用特殊函數(shù)的級數(shù)的方法相反，稱為

9、奇異點(diǎn)方法． 他在1828年私人印刷出版的小冊子《關(guān)于數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于電磁學(xué)理論的一篇論文》中，建立了許多對于推動(dòng)位勢論的進(jìn)一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理與概念，其中以格林公式,( 為物體表面指向內(nèi)部的法向， 是體積元， 是面積元)和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠(yuǎn)．,格林是劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的開山祖師，他的工作培育了湯姆遜(W.Thomson，1824—1907)、史托克斯(G.St

10、okes，1819—1903)、麥克斯韋(C.Maxwell，1831—1879)等強(qiáng)有力的后繼者，他們是19世紀(jì)典型的數(shù)學(xué)物理學(xué)家．他們的主要目標(biāo)，是發(fā)展求解重要物理問題的一般數(shù)學(xué)方法，而他們手中的主要武器就是偏微分方程，以致于在19世紀(jì)，偏微分方程幾乎變成了數(shù)學(xué)物理的同義語．,下面讓我們看看格林的簡介。,格林,格林(Green，1793-1841）格林8歲時(shí)曾就讀于一所私立學(xué)校 。格林在校表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)才能．可惜這段學(xué)習(xí)僅延續(xù)了一

11、年左右．1802年夏天，格林就輟學(xué)回家，幫助父親做工． 19世紀(jì)初的諾丁漢郡正處于上升時(shí)期．編織業(yè)的發(fā)達(dá)，造成了人口的密集，與拿破侖的戰(zhàn)爭又促使小麥生意興隆． 1807年，格林的父親在諾丁漢近郊買下一座磨坊，從面包師變成了磨坊主．父子二人慘淡經(jīng)營，家道小康．但格林始終未忘他對數(shù)學(xué)的愛好，以驚人的毅力堅(jiān)持白天工作，晚上自學(xué)，把磨坊頂樓當(dāng)作書齋，攻讀從本市布朗利(Bromley)

12、圖書館借來的數(shù)學(xué)書籍。,格林,1833年10月，年已40的格林終于跨進(jìn)了劍橋大學(xué)的大門，成為岡維爾-凱厄斯學(xué)院的自費(fèi)生．經(jīng)過4年艱苦的學(xué)習(xí)，1837年獲劍橋數(shù)學(xué)榮譽(yù)考試(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年獲學(xué)士學(xué)位，1839年當(dāng)選為岡維爾-凱厄斯學(xué)院院委． 正當(dāng)一條更加寬廣的科學(xué)道路在格林面前豁然展現(xiàn)之時(shí)，這位磨坊工出身的數(shù)學(xué)家卻因積勞成疾，不得不回家鄉(xiāng)休養(yǎng)，于1841年5月31日在諾丁漢

13、病故．,格林,格林生前長期與磨坊領(lǐng)班W．史密斯(Smith)的女兒簡(Jane)同居，但始終未正式結(jié)婚．最初可能是由于他父親反對這門婚事，后來則因劍橋?qū)S爾-凱厄斯學(xué)院院委資格只授予單身漢，格林為了事業(yè)只好放棄正式結(jié)婚的打算．格林去世后，簡被承認(rèn)為其合法遺孀，人們都稱她為“格林夫人”，他們生有兩個(gè)兒子、五個(gè)女兒．　　格林短促的一生，共發(fā)表過10篇數(shù)學(xué)論文，這些原始著作數(shù)量不大，卻包含了影響19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理發(fā)展的寶貴思想．　　格林是現(xiàn)

14、代位勢理論的先驅(qū)與奠基人之一。,,今天，格林度過他艱苦自學(xué)歲月的磨坊依然存在，到諾丁漢訪問的人，很遠(yuǎn)就可以看到它聳立的風(fēng)輪． 英國諾丁漢市決定維護(hù)好格林遺址，作為對這位磨坊工出身的數(shù)學(xué)家的永久紀(jì)念．,,劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的貢獻(xiàn)使經(jīng)歷了一個(gè)多世紀(jì)沉寂后的英國數(shù)學(xué)在19世紀(jì)得以復(fù)興，麥克斯韋1864年導(dǎo)出的電磁場方程,,是19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理最壯觀的勝利，正是根據(jù)對這組方程的研究，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，不僅給科

15、學(xué)和技術(shù)帶來巨大的沖擊，同時(shí)也使偏微分方程威名大振． 愛因斯坦在一次紀(jì)念麥克斯韋的演講中說：“偏微分方程進(jìn)入理論物理學(xué)時(shí)是婢女，但逐漸變成了主婦，”他認(rèn)為這是從19世紀(jì)開始的，而劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派尤其是麥克斯韋在這一轉(zhuǎn)變中起了重要的作用．,麥克斯韋,麥克斯韋（1831～1879）英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家?？茖W(xué)史上，稱牛頓把天上和地上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律統(tǒng)一起來，是實(shí)現(xiàn)第一次大綜合，麥克斯韋把電、光統(tǒng)一起來，是實(shí)現(xiàn)第二次大

16、綜合，因此應(yīng)與牛頓齊名。 1873年出版的《論電和磁》，也被尊為繼牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之后的一部最重要的物理學(xué)經(jīng)典。沒有電磁學(xué)就沒有現(xiàn)代電工學(xué)，也就不可能有現(xiàn)代文明。 一般認(rèn)為麥克斯韋是從牛頓到愛因斯坦這一整個(gè)階段中最偉大的理論物理學(xué)家。1879年他在48歲時(shí)因病與世長辭。他光輝的生涯就這樣過早地結(jié)束了。,泊松,泊松 （1781—1840）法國數(shù)學(xué)家。泊松是法國數(shù)學(xué)家、

17、物理學(xué)家和力學(xué)家. 1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造。在畢業(yè)時(shí)，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師。受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識。1800年畢業(yè)后留校任教，1802年任副教授,1806年接替傅里葉任該校教授。 1808年任法國經(jīng)度局天文學(xué)家,1809年任巴黎理學(xué)院力學(xué)教授。1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。,,泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。他工作的特

18、色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。他對積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。 “泊松是第一個(gè)沿著復(fù)平面上的路徑實(shí)行積分的人.” ──克蘭 “我建立了描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種概率分布.” ──泊松,除了麥克斯韋方程，19世紀(jì)導(dǎo)出的著名偏微分方程組還有粘性

19、流體運(yùn)動(dòng)的納維—史托克斯方程(C.L.M.H.Navier，1821；G.Stokes，1849)和彈性介質(zhì)的柯西方程(1828)等．所有這些方程都不存在普遍解法．不過19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們已逐漸認(rèn)識到在偏微分方程的情形，無論是單個(gè)方程還是方程組，通解實(shí)際上不如初始條件和邊界條件已給定的特殊問題的解有用．因此他們在求解定解問題方面做了大量工作．,對18、19世紀(jì)建立起來的類型眾多的微分方程，數(shù)學(xué)家們求顯式解的努力往往歸于失敗，這種情況促使他

20、們轉(zhuǎn)而證明解的存在性．最先考慮微分方程解的存在性問題的數(shù)學(xué)家是柯西．,他指出：在求顯式解無效的場合常?？梢宰C明解的存在性．他在1820年代對形如的常微分方程給出了第一個(gè)存在性定理，這方面的工作被德國數(shù)學(xué)家李普希茨(R.Lipschitz)、法國數(shù)學(xué)家劉維爾(J.Liouville)和皮卡(E.Picard)等追隨．,柯西也是討論偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列論文中論述了如何將任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程

21、組，然后討論了偏微分方程組的存在性并提出了證明存在性的長函數(shù)方法．,柯西的工作后來被俄國女?dāng)?shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭(C.B.Kovalevskaya，1850—1891)獨(dú)立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內(nèi)的非常一般的形式．柯瓦列夫斯卡婭的論文《偏微分方程理論》刊登在克雷爾《數(shù)學(xué)雜志》上(1875)，有關(guān)的偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻(xiàn)中就稱“柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理”．,柯瓦列夫斯卡婭是歷史上為數(shù)不多的杰出女?dāng)?shù)學(xué)家之一．她出生于

22、莫斯科一個(gè)貴族家庭，17歲時(shí)就在彼得堡一位海軍學(xué)校教師指導(dǎo)下掌握了微積分．然而當(dāng)時(shí)的俄國大學(xué)拒收女性，為了求學(xué)深造，她只好出走德國，先在海德堡大學(xué)學(xué)習(xí)一年，后來慕名到柏林求見魏爾斯特拉斯．,初次見面，魏爾斯特拉斯出了一堆難題考她，估計(jì)她多半做不出來，但一周以后，當(dāng)柯瓦列夫斯卡婭如期帶著完滿的答卷回來見他時(shí)，這位名重一時(shí)的數(shù)學(xué)家對她的數(shù)學(xué)才能不再懷疑．當(dāng)時(shí)的柏林大學(xué)跟俄國大學(xué)一樣不收女生，魏爾斯特拉斯決定為柯瓦列夫斯卡婭單獨(dú)授課，每星期日

23、下午一次，四年不曾中斷．,在這四年時(shí)間里，柯瓦列夫斯卡婭不僅學(xué)完了大學(xué)的全部數(shù)學(xué)課程，而且還寫出了三篇重要論文，其中一篇就是前面提到的關(guān)于偏微分方程解的存在性的研究．這些工作是那樣出色，以致哥廷根大學(xué)在沒有經(jīng)過考試和答辯的情況下破格授予她博士學(xué)位，使她成為歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)博士．,,柯瓦列夫斯卡婭,柯瓦列夫斯卡婭38歲時(shí)由于對剛體繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題的研究而榮獲法國科學(xué)院大獎(jiǎng)——鮑亭獎(jiǎng)．剛體旋轉(zhuǎn)問題自歐拉、拉格朗日以來長期停滯不前，法國科學(xué)院

24、已三次懸賞解決．柯瓦列夫斯卡婭的獲獎(jiǎng)成為當(dāng)時(shí)的報(bào)紙新聞，轟動(dòng)了巴黎．法國科學(xué)院院長親自致頒獎(jiǎng)辭說：“當(dāng)今最輝煌、最難得的榮譽(yù)桂冠，有一頂將落到一位女士頭上．”第二年，俄國科學(xué)院選舉柯瓦列夫斯卡婭為通信院士，為此還專門修改了院章中不接納女性院士的規(guī)定．柯瓦列夫斯卡婭又成為歷史上第一位女科學(xué)院院士，她達(dá)到了事業(yè)的頂峰．不幸的是，一年多以后，她就因患肺炎在瑞典斯德哥爾摩逝世，年僅41歲．,由于18世紀(jì)的大量開發(fā)，常微分方程的求解在19世紀(jì)反而

25、局限于用分離變量法解偏微分方程時(shí)所得到的方程，并且多半使用級數(shù)解，這引導(dǎo)出一串特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)(1816)、高斯超幾何函數(shù)(1812)等等．,在19世紀(jì)后半葉，對常微分方程研究的理論方面變得突出，并且在兩個(gè)大的方向上開拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大發(fā)展都與龐加萊的名字聯(lián)系著．,第一個(gè)方向是與奇點(diǎn)問題相聯(lián)系的常微分方程解析理論．,作為常微分方程向復(fù)數(shù)域的推廣，常微分方程解析理論是由柯西開創(chuàng)的，但柯西之后，解析理論重點(diǎn)向大范圍

26、轉(zhuǎn)移．黎曼和?？怂?L.Fuchs，1833—1902)發(fā)展了線性方程理論，?？怂古c龐加萊探討了一階非線性方程理論，到龐加萊與克萊因的自守函數(shù)理論而臻于頂峰．自守函數(shù)是在二階非線性方程研究中，考慮當(dāng)繞奇點(diǎn)的閉路徑一圈時(shí)解的變換而導(dǎo)出的．一般自守函數(shù)是指在變換群,,或該群的某些子群作用下不變的函數(shù)，首先由龐加萊作為二階常微分方程兩個(gè)線性無關(guān)解的商的反函數(shù)而得到．龐加萊在1824—1884年間的一系列論文中建立了這類函數(shù)的一般理論，克萊因也

27、差不多同時(shí)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了自守函數(shù)．,自守函數(shù)的研究完整地解決了代數(shù)系數(shù) 階線性常微分方程的積分問題，同時(shí)作為橢圓函數(shù)的推廣，自守函數(shù)本身已成為解析函數(shù)論的重要內(nèi)容．,19世紀(jì)常微分方程研究的另一個(gè)嶄新方向——定性理論，則完全是龐加萊的獨(dú)創(chuàng)．,我們知道，當(dāng)求顯式解變得越來越困難時(shí)，人們的目光就更多地轉(zhuǎn)向通過微分方程本身來了解其解的性態(tài)的問題．龐加萊則是由三體問題的研究而被引導(dǎo)到常微分方程定性理論的創(chuàng)立．,三體問題自牛頓以來一直在天體力學(xué)

28、里占有突出的地位，其中一個(gè)備受關(guān)注的課題是行星或衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性，這導(dǎo)致對描述天體運(yùn)動(dòng)的微分方程周期解的研究．拉格朗日曾找到三體問題的特殊周期解．但在一般情況下，描述三體問題的非線性常微方程組很難找到顯式解．,龐加萊1881—1886年間在同一標(biāo)題《由微分方程定義的曲線》下發(fā)表的4篇論文，尋求只通過考察微分方程本身就可以回答關(guān)于穩(wěn)定性等問題的方法，創(chuàng)建了微分方程定性理論.龐加萊從形如,,的非線性方程出發(fā)，發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(diǎn)(即使

29、 和 同時(shí)為0的點(diǎn))起著關(guān)鍵作用．他把奇點(diǎn)分為四類(焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、中心)，討論了解在各種奇點(diǎn)附近的性狀，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了一些與描述滿足微分方程的解曲線有關(guān)的重要的閉曲線如無,接觸環(huán)(不與任何滿足微分方程的曲線組相接觸的閉曲線)、極限環(huán)(滿足微分方程的閉曲線，且其他解曲線無限趨近卻永遠(yuǎn)達(dá)不到它)等．利用這些概念，龐加萊獲得了關(guān)于三體問題周期解的許多新結(jié)果．龐加萊關(guān)于在奇點(diǎn)附近積分曲線隨時(shí)間變化的定性研究在1892年以后被俄國數(shù)學(xué)家

30、李亞普諾夫(A.M.Liapunov，1857—1918發(fā)展到高維一般情形而形成專門的“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性”分支．),,龐加萊(Henri Poincare，1854—1912)從1881年(27歲)起任巴黎大學(xué)教授，直到他去世．他是歐拉、柯西之后最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，并且在研究領(lǐng)域的廣泛方面很少有人能與他相比．每年他在索邦(Sorbonne，即巴黎大學(xué))講授一種不同的科目，而在每一門科目中，他都留有他自己的創(chuàng)造印記。,龐加萊,龐加萊,龐加萊(185

31、4-1912)法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理、多復(fù)變函數(shù)論、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。 他被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對于數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識的最后一個(gè)人。 龐加萊在數(shù)學(xué)方面的杰出工作對20世紀(jì)和當(dāng)今的數(shù)學(xué)造成極其深遠(yuǎn)的影響，他在天體力學(xué)方面的研究是牛頓以來的第二個(gè)偉大的里

32、程碑，他對電子理論的研究被公認(rèn)為相對論的理論先驅(qū)。,龐加萊,龐加萊特別愛好讀書，讀書的速度快得驚人，而且能對讀過的內(nèi)容迅速、準(zhǔn)確、持久地記住。 他甚至能講出書中某件事是在第幾頁第幾行中講述的！龐加萊還對博物學(xué)發(fā)生過特殊的興趣。他對自然史的興趣也很濃，歷史、地理的成績也很優(yōu)異。 他在兒童時(shí)代還顯露了文學(xué)才華，有的作文被老師譽(yù)為“杰作”。,龐加萊,1875年～1878年，龐

33、加萊在高等工科學(xué)校畢業(yè)后，又在國立高等礦業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)工程，準(zhǔn)備當(dāng)一名工程師。但他對這方面沒有興趣。 1879年8月1日，龐加萊撰寫了關(guān)于微分方程方面的博士論文，獲得了博士學(xué)位。然后到卡昂大學(xué)理學(xué)院任講師，1881年任巴黎大學(xué)教授，直到去世。這樣，龐加萊一生的科學(xué)事業(yè)就和巴黎大學(xué)緊緊地聯(lián)在一起了。,龐加萊猜想,龐加萊作為數(shù)學(xué)家的偉大，并不完全在于他解決了多少問題，而在于他曾經(jīng)提出過許多具有開創(chuàng)意義、奠基性的大問題

34、。龐加萊猜想，就是其中的一個(gè)。 1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個(gè)看似很簡單的拓?fù)鋵W(xué)的猜想：在一個(gè)三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的圓球。 但1905年發(fā)現(xiàn)提法中有錯(cuò)誤，并對之進(jìn)行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面。”后來，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。,龐加萊、克萊因

35、和希爾伯特，是在19和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上高聳著的三個(gè)巨大身影．他們反射著19世紀(jì)數(shù)學(xué)的光輝，同時(shí)照耀著通往20世紀(jì)數(shù)學(xué)的道路．在19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)出一派生機(jī)蓬勃的景象，這與18世紀(jì)形成了鮮明的對比．無論從內(nèi)部需要還是外部應(yīng)用看，數(shù)學(xué)家們似乎都有做不完的問題。1900年8月5日，龐加萊宣布巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)開幕，正是在這次會(huì)議期間，希爾伯特充滿信心地走上講臺，以他著名的23個(gè)問題揭開了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的序幕．,克萊因和希爾伯特:,克萊

36、因,菲利克斯·克萊因（1849年4月25日－1925年6月22日）是德國數(shù)學(xué)家。 克萊因生于德國杜塞多夫。他在埃爾朗根、慕尼黑和萊比錫當(dāng)過教授，最后到了哥廷根，教授數(shù)學(xué)。他的主要課題是非歐幾何、群論和函數(shù)論。他的將各種幾何用它們的基礎(chǔ)對稱群來分類的愛爾蘭根綱領(lǐng)的發(fā)布影響深遠(yuǎn)：是當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)的一個(gè)綜合。,克萊因,1871年，克萊因接受哥廷根大學(xué)的邀請擔(dān)任數(shù)學(xué)講師。1872年他又被埃爾朗根大學(xué)聘任為

37、數(shù)學(xué)教授，這時(shí)他只有23歲。1875年他在慕尼黑高等技術(shù)學(xué)院取得了一個(gè)教席。 1886年，克萊因接受了哥廷根大學(xué)的邀請來到哥廷根，開始了他的數(shù)學(xué)家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數(shù)學(xué)和物理之間的交叉課題，如力學(xué)和勢論。他在這里直到1913年退休。他實(shí)現(xiàn)了要重建哥廷根大學(xué)作為世界數(shù)學(xué)研究的重要中心的愿望。,克萊因,1885年克萊因被英國皇家學(xué)會(huì)選為國外會(huì)員并被授予科普勒獎(jiǎng)金。 　　1908年克萊因被國際數(shù)

38、學(xué)會(huì)選為在羅馬召開的數(shù)學(xué)家大會(huì)主席。,希爾伯特,德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（1862-1943）是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他在1899年出版的《幾何基礎(chǔ)》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派” 。,哥廷根大學(xué),哥廷根大學(xué)，位于德國西北部下薩克森州南端的大學(xué)城哥廷根市，因英王喬治二世創(chuàng)建而得名。始建于1734年，于1737年向公眾開放。哥廷根擁有十分輝煌的歷史，名人輩出，蜚聲世界?！　「缤⒏髮W(xué)有著良

39、好的國際聲譽(yù)，在2011年“泰晤士高等教育大學(xué)世界排名”中，名列德國第2，全球第69位。同時(shí)在2011年“世界大學(xué)學(xué)術(shù)排名”中，名列德國第4，全球第86位。另外在2011年“QS世界大學(xué)排名”中名列德國第9，全球第149位。,創(chuàng)辦初期，旨在弘揚(yáng)歐洲啟蒙時(shí)代學(xué)術(shù)自由的理念，哥廷根大學(xué)也因此一開歐洲大學(xué)學(xué)術(shù)自由之風(fēng)氣。大學(xué)創(chuàng)辦之初，即設(shè)有神學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)四大經(jīng)典學(xué)科，尤以自然科學(xué)和法學(xué)為重。 更讓哥廷根成

40、為世人矚目的科學(xué)中心的是其自然科學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)。被稱為“最重要的數(shù)學(xué)家”的高斯就于18世紀(jì)任教于此并開創(chuàng)了哥廷根學(xué)派。此后，黎曼、狄利克雷和雅可比在代數(shù)、幾何、數(shù)論和分析領(lǐng)域做出了貢獻(xiàn)。到19世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特和克萊因更是吸引了大批數(shù)學(xué)家前往哥廷根，從而使德國哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派進(jìn)入了全盛時(shí)期。到20世紀(jì)初，哥廷根已成為無可爭辯的世界數(shù)學(xué)中心和麥加圣地。,哥廷根大學(xué),19世紀(jì)末-20世紀(jì)初,這一時(shí)期，哥廷根大學(xué)在全歐乃至世界上的學(xué)術(shù)地位

41、達(dá)到了頂峰。 　　45位諾貝爾獎(jiǎng)得主曾在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)、任教或研究，其中大部分為物理和化學(xué)獎(jiǎng)，其他為醫(yī)學(xué)、和平及文學(xué)獎(jiǎng)。在這半個(gè)世紀(jì)從這里走出的諾貝爾獎(jiǎng)得主人數(shù)位居世界大學(xué)第八位，創(chuàng)造了“哥廷根諾貝爾奇跡”。,19世紀(jì)末-20世紀(jì)初,此外，德意志帝國時(shí)期的“鐵血宰相”奧托·馮·俾斯麥，聯(lián)邦德國前總統(tǒng)里夏德·馮·魏茨澤克及前總理格哈特·施羅德均曾于哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)法律。德國大詩人海涅也在此

42、取得法學(xué)博士。格林兄弟在此任教并編寫了第一部德語詞典。現(xiàn)象學(xué)大師埃德蒙德·胡塞爾在此任教，哲學(xué)家亞瑟·叔本華，社會(huì)學(xué)大師馬克斯·韋伯與尤爾根·哈貝馬斯等也先后求學(xué)于哥廷根。,,,鵝女孩雕像,有趣的傳統(tǒng),在哥廷根大學(xué)至今還保存著一項(xiàng)有名的和有趣的傳統(tǒng)，就是在博士生通過答辯獲得學(xué)位的當(dāng)天，都會(huì)頭戴博士帽，在親友的陪同下乘坐花車前往市中心的鵝女孩廣場去親吻“鵝女孩雕像”。,哥廷根的驕傲 - 知名校友錄,

43、數(shù)學(xué)家 - 卡爾·弗里德里希·高斯 　　數(shù)學(xué)家 - 約翰·狄利克雷 　　數(shù)學(xué)家 - 波恩哈德·黎曼 　　數(shù)學(xué)家 - 理查德·戴德金 　　數(shù)學(xué)家 - 菲利克斯·克萊因 　　數(shù)學(xué)家 - 大衛(wèi)·希爾伯特,巴黎高等師范學(xué)院,巴黎高等師范學(xué)院依照法國共和三年霧月9日(1794年10月30日)政令創(chuàng)辦，學(xué)校成立之初確定的宗旨是讓學(xué)生在教師的幫助下，學(xué)會(huì)“教學(xué)的藝術(shù)” 。

44、 巴黎高師的既往歲月中，誕生了無數(shù)的科學(xué)和人文藝術(shù)領(lǐng)域的天才和大師。共計(jì)有10位來自物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、文學(xué)領(lǐng)域的諾貝爾獎(jiǎng)得主和9位菲爾茲獎(jiǎng)（Field Medals，數(shù)學(xué)"諾貝爾獎(jiǎng)"）得主出自巴黎高師，是世界上獲得此獎(jiǎng)最多的大學(xué)。,THANKS!,選擇題與填空題,1．被稱為“現(xiàn)代分析之父”的數(shù)學(xué)家是_魏爾斯特拉斯，被稱為“數(shù)學(xué)之王”的數(shù)學(xué)家是_高斯__.2．“數(shù)學(xué)無王者之道”，這里的“王