用主元連乘法定義行列式

1、1用主元連乘法定義行列式用主元連乘法定義行列式——工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的思路之二工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的思路之二西安西安電子科技大學(xué)子科技大學(xué)陳懷陳懷琛高淑萍高淑萍email：hchchen1934@vip.摘要：摘要：提出了用主元連乘積法來定義行列式，可以把高斯消元法與行列式有機(jī)地聯(lián)系起來，大大簡化行列式的理論講授難度，可以避開的許多困惑的概念，并且使行列式的計(jì)算和編程十分方便快捷。這從1995到2004的十年間，為了把科學(xué)

2、計(jì)算軟件用于機(jī)械、電子、控制等類工科課程，我寫了五本書，涉及十多門課程，解了超百道的線性代數(shù)問題，真正體驗(yàn)了后續(xù)課程和工程問題對(duì)線性代數(shù)的需要。發(fā)現(xiàn)工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的首要手段是引進(jìn)機(jī)算。其次，許多老師根本不知道工程上是如何應(yīng)用線性代數(shù)的，憑想象選材。造成在內(nèi)容上，“有用的不教，教了的沒用”。本文只就行列式的用法和算法問題做些探討。一、一、工科后續(xù)課究竟如何用行列式的？工科后續(xù)課究竟如何用行列式的？工科學(xué)生遇到的主要線性代數(shù)問題

3、是解方程組。其階數(shù)通常為五階以上，直到成百上千。求解的基本原理是高斯消元法，采用的工具是計(jì)算機(jī)，用手工筆算是不可能的。不過現(xiàn)在的大學(xué)數(shù)學(xué)就是偏偏只教筆算，只管解三階以下的題目。“不教機(jī)算”的問題我已談得很多，2009年高教司已立項(xiàng)“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)”來解決這個(gè)問題，有19所大學(xué)，45000名學(xué)生參與了試點(diǎn)，深受師生歡迎，現(xiàn)在正在繼續(xù)推廣，本文就不多說了。在這里我要談的是線性代數(shù)中的一個(gè)困難的理論問題——行列式，應(yīng)

4、該如何教。大家知道，“行列式不為零”是判斷線性方程組解存在的根據(jù)，從數(shù)學(xué)上看，必不可少。因此現(xiàn)在的線性代數(shù)老師教給學(xué)生的是這樣一個(gè)概念：拿來一個(gè)線性方程組，先算它的系數(shù)行列式，如果它不等于零，再去求解；否則就不算了。實(shí)際情況遠(yuǎn)非如此，我解的上百道矩陣應(yīng)用題目，都是直接求解方程，沒有先算行列式“判解”這個(gè)步驟。其原因何在呢？1.先判解，后求解，這樣的操作順序要有一個(gè)前提，那就是，判解應(yīng)該比求解容易。如果求解快，判解慢，那有何必多此一舉去“

5、判解”呢？因此，計(jì)算復(fù)雜度是關(guān)鍵，當(dāng)前線性代數(shù)中不考慮計(jì)算復(fù)雜度是一個(gè)大的缺陷。2.方程組求解現(xiàn)在都用高斯消元法，數(shù)學(xué)上早有證明，那是最快的方法。行列式的計(jì)算法則隨定義而定，現(xiàn)有三種定義方法[1]：顯式法、代數(shù)余子式法和主元連乘積法。我國的現(xiàn)有教材從來都不講第三種，而前兩種定義下的計(jì)算復(fù)雜度極高。三階及以上的系統(tǒng)，判解遠(yuǎn)慢于求解。階數(shù)愈高，兩者的差距愈大。因此，判解實(shí)際上是不進(jìn)行的。3.消元法求解的過程中，已經(jīng)經(jīng)歷了解的存在性的判斷。只

6、要消元所得的行階梯矩陣的主對(duì)角線上的元素不為零，方程組就有解；主元出現(xiàn)零，方程就無解。其實(shí)，求出了行階梯矩陣，用主元連乘積的定義，已經(jīng)可以很方便地通過N1次連乘，得到行列式的值，所以求解和求行列式幾乎是同時(shí)完成的，并不需要多付出雙倍以至千百倍的無用功來先判解的。尤其是使用計(jì)算機(jī)解題時(shí)，如果出現(xiàn)了某個(gè)零主元，計(jì)算機(jī)會(huì)發(fā)出出錯(cuò)告警，指出系數(shù)行列式接近或等于于零。3三、三、高階行列式的三種定義方法高階行列式的三種定義方法可以認(rèn)為三種高階行列式

7、定義方法都是從二、三階行列式從形式上向上演繹而得出的。顯式法是從各元素下標(biāo)的排列組合規(guī)律向上演繹，代數(shù)余子式法是從矩陣按行展開的規(guī)則進(jìn)行演繹，而主元連乘積法則是從消元法所得上三角矩陣向上演繹的。1顯式法：顯式法：按照這個(gè)定義，nn矩陣的行列式中每一項(xiàng)將由不同行不同列的n個(gè)矩陣元素乘積組成(即要做n1次乘法)，這些項(xiàng)應(yīng)該能覆蓋所有可能的排列方式，根據(jù)排列理論，行列式將有N=n!項(xiàng)相加。即使n=10，N將達(dá)3628800，而需要的乘法次數(shù)為

8、n(n1)!之多，而每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)將由這n項(xiàng)下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，還需要更多的計(jì)算量。所以顯式法也稱為‘大公式’法。顯式法中的逆序和排列計(jì)數(shù)對(duì)非數(shù)學(xué)系的大學(xué)新生往往是攔路虎。而它的運(yùn)算量不僅超越了人們筆算可能性，也超越了計(jì)算機(jī)的能力。一個(gè)25階的行列式若按這個(gè)大公式來算，用每秒1萬億次的超級(jí)計(jì)算機(jī)，也要算1200萬年才能得出結(jié)果。這種現(xiàn)象在計(jì)算數(shù)學(xué)上稱為“維數(shù)災(zāi)難”。所以它的主要用途是數(shù)學(xué)推理，搞數(shù)學(xué)的當(dāng)然不可缺少，但在應(yīng)用上并沒有多少價(jià)

9、值。2代數(shù)余子式法，代數(shù)余子式法，其思路是將nn矩陣的行列式化為n個(gè)(n1)(n1)較小的行列式（考慮正負(fù)號(hào)后稱為代數(shù)余子式）的線性組合。逐級(jí)分解，可以減少高階行列式的計(jì)算量；逐級(jí)綜合，就可由n1階行列式向上定義n階行列式。因?yàn)槎A行列式要兩次乘法，按照這個(gè)方法，三階行列式要三個(gè)二階行列式的線性組合，即要332=9次乘法，四階行列式要449=40次乘法，…依此類推，當(dāng)n很大時(shí)，要算的是n!個(gè)二階行列式的線性組合，近似為2n!次乘法。因此

10、，這種方法的計(jì)算量與顯式法相差不大，其主要好處是可以避開逆序定義和排列組合理論，但不可能成為有實(shí)用計(jì)算價(jià)值的方法。3主元連乘法，主元連乘法，它的核心是高斯消元法，通過等價(jià)變換消元，將系數(shù)矩陣化為上三角陣，然后把主對(duì)角線上n個(gè)主元連乘；得到行列式。這種定義的運(yùn)算量已經(jīng)在消元法中討論過，實(shí)現(xiàn)上三角矩陣所需的計(jì)算量約為N≈n33，n=10時(shí)，N=333次，n=25時(shí)，N≈5200，用現(xiàn)有的微機(jī)可以在微秒級(jí)的時(shí)間內(nèi)完成。求行列式只要做一個(gè)n元的

11、連乘，其運(yùn)算量可忽略不計(jì)。它的另一個(gè)好處是把方程組求解和求系數(shù)行列式在同一個(gè)運(yùn)算過程用同一個(gè)程序來完成，也就是把判解（的存在唯一性）和求解統(tǒng)一起來，實(shí)際上所有數(shù)學(xué)軟件計(jì)算行列式時(shí)都采用這種方法。用MATLAB為例，只用兩條語句：[LU]=lu(A)%對(duì)方陣A做LU分解D=prod(diag(U))%U的主對(duì)角線元素連乘積即為A的行列式行列式的三種定義方法所需乘法次數(shù)列表如下階數(shù)N23451025高斯消元法求主元N333112141333

12、5208消元法求行列式N33N141324453425233代數(shù)余子式法求行列式≈2N!294020572576003.1022e025顯式法求行列式(N1)N!21272480326592003.7227e026從此表可以看出，只有N=2時(shí)，用顯式法判解才比消元法方便。N=3時(shí)，兩者的計(jì)算量基本相同。N3時(shí)，N每加一，用顯式法定義的計(jì)算量成十倍地增長。代數(shù)余子式法計(jì)算量與顯式法基本相同，只有消元法的計(jì)算量最小，而且不引進(jìn)其他新概念，理