注重挖掘代數(shù)式的幾何意義

1、注重挖掘代數(shù)式的幾何意義姜堰市勵才實驗學(xué)校張網(wǎng)軍225500數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應(yīng)的幾何性質(zhì)使問題得以解決，以形助數(shù)，往往能達到異想不到的妙處。筆者在高三復(fù)習(xí)不等式證明時對此深有感觸，加以整理與大家共享。對于以下結(jié)構(gòu)的問題需要注意其式子的幾何意義：（1）表示兩點間的距離或向量的模；（2）表示過????22xayb???ybxa??點與直線的斜率；（3）與直線的截距有關(guān)；??xy?

2、?abAxBy?0AxByC???（4）表示單位圓上的任意一點；（5）與??cossinP??221xy??22aabb??余弦定理有關(guān)，在解題過程可以利用這些式子的幾何意義達到簡化不等式證明的目的。例1已知，求證：Rabcd??。????222222abcdacbd???????分析：分析：此題可利用距離公式與三角形的性質(zhì)加以解決。解：設(shè)，則點在第一象限，點在第三象限????AabBcd??AB∵，2222OAabOBcd??????

3、??22ABaccd????∴若三點不共線，則在中，OABOAB?OAOBAB??若三點共線，則OABOAOBAB??綜上所述，，即OAOBAB??????222222abcdacbd???????例2已知，且，求證：。Rxyz??xyza???22223axyz???分析：分析：表示平面上任意一點到空間直角坐標系原點222xyz??xyza???距離平方，最小值為原點O到平面的距離。xyza???解：設(shè)點為平面：上任意一點，則原點O到

4、平面??Pxyz?xyza????的距離為，則由平面外一點O與平面上2221010103111aad????????????任意一點的連線中垂線段最短知：OPd?所以，即。2223axyz???22223axyz???例3設(shè)函數(shù)，且，求證：。2()1fxx??ab?()()fafbab???分析：分析：此題只要證明過點的直線的斜率????()()AafaBbfb的絕對值小于1。()()fafbkab???解：設(shè)為函數(shù)圖象上兩點，則???

5、?()()AafaBbfb2()1fxx??，而函數(shù)的圖象是雙曲線的上半()()fafbkab???2()1fxx??221yx??支再直線AB的方程為，聯(lián)立方程組ykxb??消去得，221yxykxb???????x??2221210kybyb?????∵直線AB與雙曲線的上半支交于A、B兩點221yx??∴（等號不可同時成立），∴11AByy??0AByy?∵，∴，即，故22101ABbyyk????21k?1k?()()1fafb

6、ab???所以。()()fafbab???例4已知，且，求證：。Rabcd??222211abcd????1acbd??分析分析1：方程都表示以原點為圓心的單位圓，故可利222211abcd????用圓的參數(shù)方程解題。解：設(shè)cossincossin(0)2abcd????????????則??coscossinsincosacbd???????????顯然??cos1acbd??????分析分析2：此題也可利用向量的數(shù)量積與模之間的關(guān)系